Seja a função f. definıda pela sentença aberla:
a) Dē o dominio de f.
b) Verifique que fé decrescente em
.*.
b) Verifique que fé decrescente em
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
a) o domínio de , e
b) verificar que é decrescente em
.
Para isso vamos primeiro achar o domínio, depois mostrar que é diferenciável em
e por fim usar o sinal de
para concluir a monotonicidade.
a) o domínio de
b) verificar que
Para isso vamos primeiro achar o domínio, depois mostrar que
Passo 2
Para achar o domínio, notamos que a única restrição em
é que o denominador não pode ser zero. Logo
Passo 3
A função
é diferenciável em todo ponto de
. Vamos calcular sua derivada usando a regra do quociente ou reconhecendo como potência negativa:
Passo 4
Para todo
temos
, de modo que
Quando a derivada de uma função é negativa em um intervalo, a função é estritamente decrescente nesse intervalo. Como
, concluímos que
é estritamente decrescente em cada uma dessas partes, e portanto em todo
.
Resposta
a)
b) Como para todo
,
é estritamente decrescente em
.
b) Como