Seja a função f. definıda pela sentença aberla:
f(x)=1x
a) Dē o dominio de f.
b) Verifique que fé decrescente em R.*.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=1x
e pede:
a) o domínio de f, e
b) verificar que f é decrescente em R^*=Rsetminus0.
Para isso vamos primeiro achar o domínio, depois mostrar que f é diferenciável em R^* e por fim usar o sinal de f'(x) para concluir a monotonicidade.

Passo 2

Para achar o domínio, notamos que a única restrição em 1x é que o denominador não pode ser zero. Logo
dom(f)=xinRmid xneq 0=Rsetminus0

Passo 3

A função f(x)=1/x é diferenciável em todo ponto de Rsetminus0. Vamos calcular sua derivada usando a regra do quociente ou reconhecendo como potência negativa:
f'(x)=-,1x^2

Passo 4

Para todo xneq0 temos x^2>0, de modo que
f'(x)=-,1x^2<0
Quando a derivada de uma função é negativa em um intervalo, a função é estritamente decrescente nesse intervalo. Como R^* =(-infty,0)cup(0,infty), concluímos que f é estritamente decrescente em cada uma dessas partes, e portanto em todo R^*.

Resposta

a) dom(f)=Rsetminus0
b) Como f'(x)=-1/x^2<0 para todo xneq0, f é estritamente decrescente em R^*.

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