Demonstre que 1^{2}+3^{2}+5^{2}+7^{2}+\ldots+(2 n-1)^{2}=\frac{1}{3} n\left(4 n^{2}-1\right);

Soluçāo:

Utilizando notação de somatório segue que:
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2 n-1)^{2}=\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)^{2}=\sum_{k=1}^{n}\left(4 k^{2}-4 k+1\right)=4 \sum_{k=1}^{n} k^{2}-4 \sum_{k=1}^{n} k+\sum_{k=1}^{n} 1=
=4 \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-4 \frac{n(n+1)}{2}+n=\frac{2 n(n+1)(2 n+1)}{3}-2 n(n+1)+n=
=\frac{n}{3}\left[4 n^{2}+6 n+2-6 n-6+3\right]=\frac{n\left(4 n^{2}-1\right)}{3}

Passo 1

O enunciado pede para provar que a soma dos quadrados dos n primeiros números ímpares
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2n-1)^{2}
é igual a \tfrac{1}{3}n(4n^{2}-1). Vamos usar notação de somatório e as fórmulas conhecidas para \sum_{k=1}^{n}k e \sum_{k=1}^{n}k^{2}.

Passo 2

Escrevemos a soma em notação de somatório:
S \;=\; 1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2n-1)^{2} \;=\;\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}.

Passo 3

Expandimos o quadrado do termo geral:
(2k-1)^{2} = 4k^{2} - 4k + 1.
Portanto
S = \sum_{k=1}^{n}(4k^{2}-4k+1) =4\sum_{k=1}^{n}k^{2}\;-\;4\sum_{k=1}^{n}k\;+\;\sum_{k=1}^{n}1.

Passo 4

Aplicamos as fórmulas conhecidas:
\sum_{k=1}^{n}k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^{n}1 = n.
Substituindo em S:
S = 4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} -4\cdot\frac{n(n+1)}{2} +n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} -2n(n+1) +n.

Passo 5

Bastam simplificar os termos:
\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} = \frac{2n(2n^{2}+3n+1)}{3} = \frac{4n^{3}+6n^{2}+2n}{3},
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S = \frac{4n^{3}+6n^{2}+2n}{3} - \frac{6n^{2}+6n}{3} + \frac{3n}{3} = \frac{4n^{3}-n}{3} = \frac{n(4n^{2}-1)}{3}.

Resposta

1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2n-1)^{2}=\frac{1}{3}\,n\bigl(4n^{2}-1\bigr).

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