Determinar quatro números em PA cuja soma ć igual a 26 c a soma dos quadrados e igual a 214.

Passo 1

O enunciado pede quatro termos de uma progressão aritmética (PA) cuja soma é 26 e a soma dos quadrados é 214. Para resolver, vamos chamar o primeiro termo de a e a razão de d, escrever as duas condições em termos de a e d e resolver o sistema.

Passo 2

Os quatro termos são
a,\quad a+d,\quad a+2d,\quad a+3d.
Como a soma deve ser 26, temos
a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) = 26
que simplifica para
4a + 6d = 26.
Dessa equação isolamos a:
a = \frac{26 - 6d}{4} = 6{,}5 - 1{,}5\,d.

Passo 3

Usamos a condição da soma dos quadrados:
a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 + (a+3d)^2.
Expandindo,
a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) + (a^2 + 4ad + 4d^2) + (a^2 + 6ad + 9d^2)
= 4a^2 + 12ad + 14d^2.
Logo a soma dos quadrados sendo 214 gera
4a^2 + 12ad + 14d^2 = 214.

Passo 4

Substituindo a = 6{,}5 - 1{,}5d na equação dos quadrados, obtemos após simplificar
169 + 5d^2 = 214 \quad\Longrightarrow\quad 5d^2 = 45 \quad\Longrightarrow\quad d^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad d = \pm 3.

Passo 5

Para d = 3, temos
a = 6{,}5 - 1{,}5 \times 3 = 6{,}5 - 4{,}5 = 2.
Os termos são
2,\;5,\;8,\;11.
Para d = -3 a PA inverte a ordem mas produz os mesmos valores. Esses números satisfazem as duas condições.

Resposta

2, 5, 8 e 11.

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