(ITA-93) Numa progressão aritmética com 2 n+I termos, a soma dos n primeiros é igual a 50 e a soma dos n últimos é 140 . Sabendo-se que a razão desta progressão é um inteiro entre 2 e 13, então seu último termo será igual a:
a) 34
b) 40
c) 42
d) 48
e) 56
Solução: Alternativa A S_{n \text { primeros }}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right) n}{2} \Rightarrow 50=\frac{\left(2 a_{1}+(n-1) r\right) n}{2} \Rightarrow 2 n a_{1}+n(n-1) r=100 S_{n \text { ültimus }}=\frac{\left(a_{n+2}+a_{2 n+1}\right) n}{2} \Rightarrow 140=\frac{\left(a_{1}+(n+1) r+a_{1}+(2 n) r\right) n}{2} \Rightarrow 2 n a_{1}+n(3 n+1) r=280
Subtraindo as equação (2) e (1): n(2 n+2) r=180 \Rightarrow r=\frac{90}{n(n+1)}.
Substituindo valores inteiros para nobservamos que 2<r<13, r \in \operatorname{IN} ocorre somente para \mathrm{n}=5, onde temos que \mathrm{r}=3.
Substituindo estes valores em (1) obtemos \mathbf{a}_{1}=4.
Logo: a_{11}=a_{1}+10 r=4+30=34
Passo 1
O enunciado trata de uma progressão aritmética (PA) com 2n+1 termos. Sabemos que a soma dos n primeiros termos é 50 e a soma dos n últimos termos é 140. A razão r é um inteiro entre 2 e 13, e queremos o último termo a_{2n+1}. Para resolver, vamos usar a fórmula da soma dos primeiros m termos de uma PA:
S_m = \frac{m}{2}\bigl(2a_1 + (m-1)r\bigr).
Passo 2
Aplicamos a fórmula à soma dos n primeiros termos, que vale 50: