(ITA-93) Numa progressão aritmética com 2 n+I termos, a soma dos n primeiros é igual a 50 e a soma dos n últimos é 140 . Sabendo-se que a razão desta progressão é um inteiro entre 2 e 13, então seu último termo será igual a:
a) 34
b) 40
c) 42
d) 48
e) 56
Solução: Alternativa A
S_{n \text { primeros }}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right) n}{2} \Rightarrow 50=\frac{\left(2 a_{1}+(n-1) r\right) n}{2} \Rightarrow 2 n a_{1}+n(n-1) r=100
S_{n \text { ültimus }}=\frac{\left(a_{n+2}+a_{2 n+1}\right) n}{2} \Rightarrow 140=\frac{\left(a_{1}+(n+1) r+a_{1}+(2 n) r\right) n}{2} \Rightarrowü
2 n a_{1}+n(3 n+1) r=280
Subtraindo as equação (2) e (1): n(2 n+2) r=180 \Rightarrow r=\frac{90}{n(n+1)}.
Substituindo valores inteiros para nobservamos que 2<r<13, r \in \operatorname{IN} ocorre somente para \mathrm{n}=5, onde temos que \mathrm{r}=3.
Substituindo estes valores em (1) obtemos \mathbf{a}_{1}=4.
Logo: a_{11}=a_{1}+10 r=4+30=34

Passo 1

O enunciado trata de uma progressão aritmética (PA) com 2n+1 termos. Sabemos que a soma dos n primeiros termos é 50 e a soma dos n últimos termos é 140. A razão r é um inteiro entre 2 e 13, e queremos o último termo a_{2n+1}. Para resolver, vamos usar a fórmula da soma dos primeiros m termos de uma PA:
S_m = \frac{m}{2}\bigl(2a_1 + (m-1)r\bigr).

Passo 2

Aplicamos a fórmula à soma dos n primeiros termos, que vale 50:
S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)r\bigr) = 50.
Multiplicando ambos os lados por 2:
n\bigl(2a_1 + (n-1)r\bigr) = 100 \quad\Longrightarrow\quad 2n\,a_1 + n(n-1)\,r = 100. \tag{1}

Passo 3

Agora a soma dos n últimos termos vai de a_{n+2} até a_{2n+1}. O primeiro deles é
a_{n+2} = a_1 + (n+1)r,
e o último é
a_{2n+1} = a_1 + 2n\,r.
Logo,
S_{\text{últimos }n} = \frac{n}{2}\bigl(a_{n+2} + a_{2n+1}\bigr) = \frac{n}{2}\bigl((a_1 + (n+1)r)+(a_1 + 2n\,r)\bigr) = 140.ú
Multiplicando por 2:
n\bigl(2a_1 + (3n+1)r\bigr) = 280 \quad\Longrightarrow\quad 2n\,a_1 + n(3n+1)\,r = 280. \tag{2}

Passo 4

Subtraindo (1) de (2) para eliminar a_1:
\bigl[2n\,a_1 + n(3n+1)r\bigr] - \bigl[2n\,a_1 + n(n-1)r\bigr] = 280 - 100
n\bigl((3n+1)-(n-1)\bigr)r = 180 \quad\Longrightarrow\quad n\cdot 2(n+1)\,r = 180 \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{180}{2\,n(n+1)} = \frac{90}{n(n+1)}.
Como r é inteiro entre 2 e 13, testamos valores de n\in\mathbb{N}. O único que dá r\in\{2,\dots,13\} é n=5, pois
r = \frac{90}{5\cdot6} = 3.

Passo 5

Com n=5 e r=3, voltamos à equação (1) para achar a_1:
2\cdot5\,a_1 + 5\cdot4\cdot3 = 100 \quad\Longrightarrow\quad 10\,a_1 + 60 = 100 \quad\Longrightarrow\quad a_1 = 4.

Passo 6

Finalmente, o último termo é
a_{2n+1} = a_1 + 2n\,r = 4 + 2\cdot5\cdot3 = 4 + 30 = 34.

Resposta

34 (alternativa A)

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