Demonstre que:
ccccc 1 & 1 & 1 & ldots & 1 1 & 1+a1 & 1 & ldots & 1 1 & 1 & 1+a2 & ldots & 1 vdots & vdots & vdots & vdots & vdots 1 & 1 & 1 & ldots & 1+an

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz 1 & 1 & 1 & cdots & 1 1 & 1+a1 & 1 & cdots & 1 1 & 1 & 1+a2 & cdots & 1 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 1 & 1 & 1 & cdots & 1+an
vale ,a1a2cdots an. Vamos usar operações elementares de linha, lembrando que somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.

Passo 2

Para cada k=2,3,dots,n+1 aplicamos a operação
Lklong<=ftarrow Lk-L1
Como essa operação não muda o valor do determinante, podemos trabalhar com a matriz resultante.

Passo 3

Após subtrair a primeira linha de todas as outras, obtemos a matriz
1 & 1 & 1 & cdots & 1 0 & a1 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & a2 & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & an
Note que abaixo da diagonal principal todos os elementos são zero, ou seja, é uma matriz triangular.

Passo 4

O determinante de uma matriz triangular é o produto de suas entradas diagonais. Aqui as diagonais são 1,a1,a2,dots,an. Logo
det = 1cdot a1cdot a2cdots an=a1a2cdots an

Resposta

a1a2cdots an

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