Sendo Sn a soma dos n primeiros números naturais, demonstre que:
llllll S1 & S1 & S1 & ldots & S1 & S1 S1 & S2 & S2 & ldots & S2 & S2 S1 & S2 & S3 & ldots & S3 & S3 vdots & vdots & vdots & & vdots & vdots S1 & S2 & S3 & ldots & Sn-1 & Sn-1 S1 & S2 & S3 & ldots & Sn-1 & Sn

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sendo ,Sn=1+2+cdots+n, o determinante da matriz A=(aij)1<= i,j<= n dada por
aij=Smin(i,j)
vale det(A)=n!.
O conteúdo principal aqui é o uso de operações elementares em linhas e colunas para levar a matriz a uma forma triangular cujos pivôs sejam fáceis de ler.

Passo 2

Primeiro, note que
Sk = 1+2+cdots+k = k(k+1)2,
mas, para o cálculo do determinante via operações, só precisaremos da diferença
Sk-Sk-1=k
A matriz original A tem a forma
A= S1 & S1 & S1 & cdots & S1 S1 & S2 & S2 & cdots & S2 S1 & S2 & S3 & cdots & S3 vdots & vdots & vdots & & vdots S1 & S2 & S3 & cdots & Sn

Passo 3

Aplicamos, para cada k=n,n-1,dots,2, a operação de linha
Rk Rk - Rk-1
Isso não altera o determinante. No novo sistema de linhas, chamemos de B=(bij), temos para k>=2 e todo j:
bkj ;=; Smin(k,j) ;-; Smin(k-1,j)
Se j<k então min(k,j)=min(k-1,j)=j e bkj=0. Se j>= k então min(k,j)=k, min(k-1,j)=k-1 e
bkj=Sk-Sk-1=k
Portanto, após essas operações, a matriz fica assim:
B= 1 & 1 & 1 & cdots & 1 0 & 2 & 2 & cdots & 2 0 & 0 & 3 & cdots & 3 vdots & vdots & vdots & & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & n ,
onde a primeira linha permaneceu (1,1,dots,1).

Passo 4

Agora, para j=n,n-1,dots,2, fazemos a operação de coluna
Cj Cj - Cj-1,
também sem alterar o determinante. Chamando o resultado de C=(cij), vemos que
  • Na primeira coluna sobra ci1=bi1.
  • Para j>=2, cij = bij-bi,j-1
Na prática, isso anula tudo, exceto os elementos da diagonal principal, pois cada linha i de B tinha apenas entradas iguais a 0 até a coluna i-1, e iguais a i a partir da coluna i. Logo em C aparece
C= 1 & 0 & 0 & cdots & 0 0 & 2 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & 3 & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & n

Passo 5

Como todas as operações foram do tipo “somar múltiplo de uma linha/coluna em outra”, o determinante permaneceu o mesmo. Agora, C é diagonal com entradas ,1,2,dots,n, logo
det(C)=1cdot2cdot3cdots n = n!
Portanto det(A)=n!.

Resposta

det S1 & S1 & cdots & S1 S1 & S2 & cdots & S2 vdots & vdots & & vdots S1 & S2 & cdots & Sn = n!

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