Sendo a soma dos primeiros números naturais, demonstre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sendo ,Sn=1+2+cdots+n, o determinante da matriz A=(aij)1<= i,j<= n dada por
aij=Smin(i,j)
vale det(A)=n!.
O conteúdo principal aqui é o uso de operações elementares em linhas e colunas para levar a matriz a uma forma triangular cujos pivôs sejam fáceis de ler.
Passo 2
Primeiro, note que
Sk = 1+2+cdots+k = k(k+1)2,
mas, para o cálculo do determinante via operações, só precisaremos da diferença
Agora, para j=n,n-1,dots,2, fazemos a operação de coluna
Cj Cj - Cj-1,
também sem alterar o determinante. Chamando o resultado de C=(cij), vemos que
Na primeira coluna sobra ci1=bi1.
Para j>=2, cij = bij-bi,j-1
Na prática, isso anula tudo, exceto os elementos da diagonal principal, pois cada linha i de B tinha apenas entradas iguais a 0 até a coluna i-1, e iguais a i a partir da coluna i. Logo em C aparece
Como todas as operações foram do tipo “somar múltiplo de uma linha/coluna em outra”, o determinante permaneceu o mesmo. Agora, C é diagonal com entradas ,1,2,dots,n, logo
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 319