Sem desenvolver o determinante, calcule:
rrrr x & y & z & t -x & y & a & b -x & -y & z & c -x & -y & -z & t

Passo 1

O enunciado pede para calcular, sem desenvolver por Laplace, o determinante da matriz
x & y & z & t -,x & y & a & b -,x & -,y & z & c -,x & -,y & -,z & t
O conteúdo aqui é a propriedade de operações elementares em linhas de uma matriz e o fato de que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 2

Aplicamos as seguintes operações de linha, que não alteram o valor do determinante:
R2 R2 + R1,
R3 R3 + R1,
R4 R4 + R1.
Cada soma elemento a elemento nos dá:
R2: ( -x+x,;y+y,;a+z,;b+t ) = (0,;2y,;a+z,;b+t),
R3: ( -x+x,;-y+y,;z+z,;c+t ) = (0,;0,;2z,;c+t),
R4: ( -x+x,;-y+y,;-z+z,;t+t ) = (0,;0,;0,;2t).

Passo 3

Depois dessas operações, a matriz fica triangular superior:
x & y & z & t 0 & 2y & a+z & b+t 0 & 0 & 2z & c+t 0 & 0 & 0 & 2t

Passo 4

Como o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal, temos
det = x cdot (2y)cdot (2z)cdot (2t) = 8,x,y,z,t

Resposta

8,x,y,z,t

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