3.2.26 Matrizes de momento angular satisfazem uma relação de comutação
Mostre que o traço de cada matriz de momento angular se anula.
Passo 1
O enunciado diz que as matrizes de momento angular
satisfazem a relação de comutação
onde
são índices cíclicos. O objetivo é mostrar que
para todo
. Vamos usar a propriedade de que a traça de um comutador sempre se anula.
Passo 2
Lembrando que o comutador é definido por
e que a traça satisfaz a propriedade de invariância cíclica
Dessa forma, para quaisquer matrizes
e
,
Passo 3
Agora aplicamos a traça na relação de comutação dos momentos angulares:
Pelo resultado do passo anterior,
. Logo,
Como
era um ciclo arbitrário, isso vale para todo índice de momento angular.