3.2.26 Matrizes de momento angular satisfazem uma relação de comutação
\left[\mathrm{M}_{j}, \mathrm{M}_{k}\right]=i \mathrm{M}_{l}, \quad j, k, l \text { cíclicos. }í
Mostre que o traço de cada matriz de momento angular se anula.

Passo 1

O enunciado diz que as matrizes de momento angular M_j satisfazem a relação de comutação
\bigl[M_j, M_k\bigr] = i\,M_l,
onde (j,k,l) são índices cíclicos. O objetivo é mostrar que \mathrm{tr}\,M_j=0 para todo j. Vamos usar a propriedade de que a traça de um comutador sempre se anula.

Passo 2

Lembrando que o comutador é definido por
\bigl[A,B\bigr] = A\,B - B\,A,
e que a traça satisfaz a propriedade de invariância cíclica
\mathrm{tr}\bigl(A\,B\bigr) = \mathrm{tr}\bigl(B\,A\bigr).
Dessa forma, para quaisquer matrizes A e B,
\mathrm{tr}\bigl([A,B]\bigr) = \mathrm{tr}\bigl(A\,B - B\,A\bigr) = \mathrm{tr}\bigl(A\,B\bigr) - \mathrm{tr}\bigl(B\,A\bigr) = 0.

Passo 3

Agora aplicamos a traça na relação de comutação dos momentos angulares:
\mathrm{tr}\bigl([M_j,M_k]\bigr) = \mathrm{tr}\bigl(i\,M_l\bigr) = i\,\mathrm{tr}\bigl(M_l\bigr).
Pelo resultado do passo anterior, \mathrm{tr}([M_j,M_k])=0. Logo,
0 = i\,\mathrm{tr}(M_l) \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{tr}(M_l)=0.
Como (j,k,l) era um ciclo arbitrário, isso vale para todo índice de momento angular.

Resposta

\mathrm{tr}\,M_j = 0 para todo j.

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