Demonstre que em qualquer poliedro convexo vale a relação:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em qualquer poliedro convexo com
faces e em que
é o número de vértices de grau
, vale a relação
Para isso vamos tratar o poliedro como um grafo planar e usar duas ferramentas: a fórmula de Euler e o lema das mãos.
Passo 2
Como todo poliedro convexo corresponde a um grafo planar conexo, podemos aplicar a fórmula de Euler para grafos planares:
onde
é o número total de vértices e
o número de arestas do grafo.
Passo 3
Definimos
como a quantidade de vértices de grau
. Então o número total de vértices é
Pelo lema das mãos (“handshake lemma”), a soma dos graus de todos os vértices é igual a
. Logo,
Passo 4
Da equação
segue
Substituindo
e
na fórmula de Euler, temos
Multiplicando tudo por 2:
Passo 5
Reorganizando,
Mas
lista-se como
,
,
, etc. Logo
que é justamente o que se queria demonstrar.
Resposta
Foi provado que