Demonstre que em qualquer poliedro convexo vale a relação:
2 F=4+V3+2 V4+3 V5+4 V6+5 V7+ldots

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer poliedro convexo com F faces e em que Vk é o número de vértices de grau k, vale a relação
2F ;=; 4 ;+; V3 ;+; 2,V4;+;3,V5;+;4,V6;+;5,V7+cdots
Para isso vamos tratar o poliedro como um grafo planar e usar duas ferramentas: a fórmula de Euler e o lema das mãos.

Passo 2

Como todo poliedro convexo corresponde a um grafo planar conexo, podemos aplicar a fórmula de Euler para grafos planares:
V ;-; E ;+; F ;=; 2,
onde V é o número total de vértices e E o número de arestas do grafo.

Passo 3

Definimos Vk como a quantidade de vértices de grau k. Então o número total de vértices é
V ;=;sumk>=3 Vk
Pelo lema das mãos (“handshake lemma”), a soma dos graus de todos os vértices é igual a 2E. Logo,
sumk>=3 k,Vk ;=;2,E

Passo 4

Da equação sumk>=3 k,Vk = 2E segue
E ;=;12sumk>=3 k,Vk
Substituindo V e E na fórmula de Euler, temos
sumk>=3 Vk ;-;12sumk>=3 k,Vk ;+; F ;=;2
Multiplicando tudo por 2:
2sumk>=3 Vk ;-;sumk>=3 k,Vk ;+;2F ;=;4

Passo 5

Reorganizando,
2F ;=;4 ;-;2sumk>=3 Vk ;+;sumk>=3 k,Vk ;=;4 ;+;sumk>=3(k-2),Vk
Mas (k-2)Vk lista-se como
(3-2)V3=V3, (4-2)V4=2V4, (5-2)V5=3V5, etc. Logo
2F ;=;4 ;+;V3;+;2,V4;+;3,V5;+;4,V6;+;5,V7+cdots,
que é justamente o que se queria demonstrar.

Resposta

Foi provado que
2F = 4 + V3 + 2V4 + 3V5 + 4V6 + 5V7 + cdots

Exercícios de Livros Relacionados