Um poliedro convexo possui 1 ângulo pentaédrico, 10 ângulos tetraédricos, e os demais triedros. Sabendo que o poliedro tem: número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares, 11 faces pentagonais, e no total 21 faces, calcule o número de vértices do poliedro convexo.

Passo 1

O poliedro convexo tem v5=1 vértice pentaédrico, v4=10 vértices tetraédricos e v3 vértices triedros (a descobrir). Além disso, o número de faces triangulares ( a) é igual ao de quadrangulares ( b), há 11 faces pentagonais ( c=11) e o total de faces é F=21. Para resolver, vamos usar a relação entre faces e arestas e a soma dos graus dos vértices.

Passo 2

Como a=b e a+b+c=21 com c=11, temos
2a + 11 = 21
2a = 10
a = b = 5

Passo 3

O número de arestas E vem da soma dos lados de todas as faces dividida por 2:
E = 3a + 4b + 5c2 = 3cdot5 + 4cdot5 + 5cdot112 = 15 + 20 + 552 = 902 = 45

Passo 4

Pela “mãozinha” dos vértices (cada vértice de grau k contribui com k arestas), vale
3v3 + 4cdot10 + 5cdot1 = 2E,
ou seja
3v3 + 40 + 5 = 90 Longrightarrow 3v3 = 45 Longrightarrow v3 = 15

Passo 5

O total de vértices é
V = v3 + v4 + v5 = 15 + 10 + 1 = 26

Resposta

O poliedro tem 26 vértices.

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