Um poliedro convexo possui 1 ângulo pentaédrico, 10 ângulos tetraédricos, e os demais triedros. Sabendo que o poliedro tem: número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares, 11 faces pentagonais, e no total 21 faces, calcule o número de vértices do poliedro convexo.
Passo 1
O poliedro convexo tem
vértice pentaédrico,
vértices tetraédricos e
vértices triedros (a descobrir). Além disso, o número de faces triangulares (
) é igual ao de quadrangulares (
), há 11 faces pentagonais (
) e o total de faces é
. Para resolver, vamos usar a relação entre faces e arestas e a soma dos graus dos vértices.
Passo 2
Como
e
com
, temos
Passo 3
O número de arestas
vem da soma dos lados de todas as faces dividida por 2:
Passo 4
Pela “mãozinha” dos vértices (cada vértice de grau
contribui com
arestas), vale
ou seja
Passo 5
O total de vértices é
Resposta
O poliedro tem
vértices.