Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é igual a 2160^circ. Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele tem 15 arestas.

Passo 1

Vamos chamar de T o número de faces triangulares e de Q o número de faces quadrangulares. O enunciado nos dá que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 2160^circ e que o poliedro tem 15 arestas. Para resolver, vamos usar:
  1. A fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono de n lados, que é (n-2)cdot180^circ.
  2. A relação entre o número de arestas e o total de lados das faces, sabendo que cada aresta pertence a duas faces (logo a soma dos números de lados de todas as faces é 2E, onde E é o número de arestas).

Passo 2

Cada face triangular tem soma de ângulos (3-2)cdot180^circ=180^circ e cada face quadrangular tem soma (4-2)cdot180^circ=360^circ. Portanto
180,T + 360,Q = 2160
Dividindo ambos os lados por 180, obtemos
T + 2Q = 12

Passo 3

Como cada face triangular contribui com 3 arestas e cada quadrangular com 4 arestas, a soma dos lados de todas as faces é
3,T + 4,Q
Mas essa soma conta cada aresta duas vezes, logo
3,T + 4,Q = 2E = 2cdot15 = 30

Passo 4

Agora temos o sistema
T + 2Q = 12, 3T + 4Q = 30
Multiplicando a primeira equação por 3:
3T + 6Q = 36
Subtraindo a segunda equação:
(3T + 6Q) - (3T + 4Q) = 36 - 30 Longrightarrow 2Q = 6 Longrightarrow Q = 3
Substituindo em T + 2Q = 12:
T + 2cdot3 = 12 Longrightarrow T = 6

Resposta

O poliedro tem 6 faces triangulares e 3 faces quadrangulares.

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