Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é igual a . Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele tem 15 arestas.
Passo 1
Vamos chamar de o número de faces triangulares e de o número de faces quadrangulares. O enunciado nos dá que a soma dos ângulos internos de todas as faces é e que o poliedro tem arestas. Para resolver, vamos usar:
A fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono de lados, que é .
A relação entre o número de arestas e o total de lados das faces, sabendo que cada aresta pertence a duas faces (logo a soma dos números de lados de todas as faces é , onde é o número de arestas).
Passo 2
Cada face triangular tem soma de ângulos e cada face quadrangular tem soma . Portanto
Dividindo ambos os lados por , obtemos
Passo 3
Como cada face triangular contribui com 3 arestas e cada quadrangular com 4 arestas, a soma dos lados de todas as faces é
O poliedro tem 6 faces triangulares e 3 faces quadrangulares.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 203