Demonstre que a reta que passa por um ponto (x0, y0), e que é paralela à reta a x+b y+c=0, tem equação a(x-x0)+b(y-y0)=0. Escreva a equação da reta pelo ponto (7,-3), paralela à reta 3 x-8 y+10=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que a reta que passa por l(x0,y0r) e é paralela à reta
a x + b y + c = 0
tem equação
a(x - x0) + b(y - y0) = 0
  1. Aplicar esse resultado para o ponto (7,-3) e a reta
3x - 8y + 10 = 0
a fim de encontrar a equação da reta paralela que passa por (7,-3).
O conteúdo aqui é equação de reta em forma geral e condição de paralelismo.

Passo 2

Para demonstrar, observamos que qualquer reta paralela a
a x + b y + c = 0
deve ter os mesmos coeficientes a e b, mudando apenas o termo constante. Logo, a forma geral é
a x + b y + d = 0
Como ela passa por (x0,y0), basta substituir para obter d:
a x0 + b y0 + d = 0 Longrightarrow d = -l(a x0 + b y0r)
Substituindo d na equação geral:
a x + b y - l(a x0 + b y0r) = 0 Longrightarrow a(x - x0) + b(y - y0) = 0

Passo 3

Agora aplicamos ao caso específico: a reta de referência é
3x - 8y + 10 = 0,
logo a=3 e b=-8. O ponto dado é (x0,y0)=(7,-3). Pela fórmula
a(x - x0) + b(y - y0) = 0
temos
3l(x - 7r) + (-8)l(y - (-3)r) = 0 Longrightarrow 3(x - 7) - 8(y + 3) = 0
Desenvolvendo:
3x - 21 - 8y - 24 = 0 Longrightarrow 3x - 8y - 45 = 0

Resposta

A reta procurada é
3x - 8y - 45 = 0

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