Demonstre que as retas de equações
(m+2) x-m y-4+m=0
em que m e uma variável real passam por um mesmo ponto.

Passo 1

No enunciado temos a família de retas dadas por
(m+2)x - m,y - 4 + m = 0,
onde minR é o parâmetro. O conteúdo aqui é estudar famílias de retas e mostrar que todas passam por um mesmo ponto, ou seja, existe (x0,y0) que satisfaz a equação para todo m.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação, agrupando os termos que envolvem m e os que não envolvem:
(m+2)x - m,y - 4 + m = m,x + 2x - m,y -4 + m = m,(x - y + 1) + (2x - 4)

Passo 3

Para que a reta seja satisfeita por um mesmo ponto (x0,y0) para todo m, a expressão
m,(x0 - y0 + 1) + (2x0 - 4)
deve ser zero independentemente de m. Isso só ocorre se os coeficientes de m e o termo livre forem nulos, ou seja, o sistema
x0 - y0 + 1 = 0, 2x0 - 4 = 0
deve ser satisfeito.

Passo 4

Resolvendo
2x0 - 4 = 0 Longrightarrow x0 = 2,
e então
x0 - y0 + 1 = 0 Longrightarrow 2 - y0 + 1 = 0 Longrightarrow y0 = 3

Resposta

O ponto comum a todas as retas é ,(2,3).

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