Demonstre que se
e
são números positivos diferentes de 1 , então
Esta última identidade é chamada de fórmula da mudança de base, porque efetivamente ela permite passar do logaritmo de um número
na base
para o logaritmo na base
, desde que se conheça também o logaritmo de
na base
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar duas propriedades fundamentais de logaritmos: a reciprocidade entre bases\r
e a fórmula da mudança de base\r
Para isso vamos usar a definição de logaritmo e a regra que diz que\r
.
Passo 2
Prova da reciprocidade
. Seja\r
\r
então, por definição,\r
Também seja\r
\r
logo\r
Mas
, então\r
Como
e
, segue que
, isto é,\r
Em termos de logaritmos:\r
Passo 3
Prova da mudança de base
. Por definição de logaritmo,\r
Aplicando
em ambos os lados e usando
, obtemos\r
Resposta
e\r