Demonstre que se a e b são números positivos diferentes de 1 , então
log b a=1log a b ; e log a N=log b N cdot log a b, N>0
Esta última identidade é chamada de fórmula da mudança de base, porque efetivamente ela permite passar do logaritmo de um número x na base b para o logaritmo na base a, desde que se conheça também o logaritmo de b na base a.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar duas propriedades fundamentais de logaritmos: a reciprocidade entre bases\r
logba=1logab\r
e a fórmula da mudança de base\r
logaN=logbNcdotlogab, N>0\r
Para isso vamos usar a definição de logaritmo e a regra que diz que\r
loga(u^k)=k,logau.

Passo 2

Prova da reciprocidade . Seja\r
\r
então, por definição,\r
\r
Também seja\r
\r
logo\r
\r
Mas , então\r
\r
Como e , segue que , isto é,\r
\r
Em termos de logaritmos:\r

Passo 3

Prova da mudança de base logaN=logbNcdotlogab. Por definição de logaritmo,\r
N=b^logbN \r
Aplicando loga em ambos os lados e usando loga(u^k)=k,logau, obtemos\r
logaN =logal(b^logbNr) =(logbN),logab

Resposta

logba=1logab\r
e\r
logaN=logbNcdotlogab.

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