Prove que lim x +infty x^n+1 D^(n) e^1 / x=(-1)^n n !

Passo 1

O enunciado pede para provar que:
limx to +infty x^n+1 D^(n)e^1/x = (-1)^n n!
O conteúdo envolve a regra da cadeia, a regra do produto para derivadas de ordem n e análise assintótica de termos dominantes. Vamos usar indução sobre n.

Passo 2

Caso base n=1. Aplicando a regra da cadeia em f(x)=e^1/x, temos
D e^1/x = e^1/xcdot Dl(1/xr) = e^1/xcdot l(-tfrac1x^2r) = -e^1/xx^2
Multiplicando por x^2 e tomando limite,
limxto+infty x^2,D e^1/x = limxto+inftyl(-e^1/xr) = -1 =(-1)^1cdot1!
Logo, o caso n=1 está verificado.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para certo n>=1 valha
D^n e^1/x = e^1/xl[(-1)^n n!,x^-n-1 + rn(x)r],
onde
limxto+infty x^n+1,rn(x)=0,
isto é, rn(x)=o(x^-n-1).

Passo 4

Derivamos essa expressão para obter D^n+1e^1/x. Usando regra do produto,
D^n+1e^1/x = Dl(e^1/xr)l[(-1)^n n!,x^-n-1+rn(x)r] + e^1/x,Dl[(-1)^n n!,x^-n-1+rn(x)r]

Passo 5

Analisamos as duas parcelas separadamente, multiplicadas por x^n+2:
  1. Como D e^1/x=-x^-2e^1/x e l[(-1)^n n!,x^-n-1+rn(x)r]=O(x^-n-1),
x^n+2,(D e^1/x)l[(-1)^n n!,x^-n-1+rn(x)r] = -,x^n+2e^1/x,O(x^-n-3) =O(x^-1);longrightarrow;0
  1. Para o segundo termo,
Dl((-1)^n n!,x^-n-1r) = (-1)^n n!, (-(n+1)),x^-n-2 = (-1)^n+1(n+1)!,x^-n-2,
e D rn(x)=o(x^-n-2). Assim,
x^n+2,e^1/xl[D((-1)^n n!,x^-n-1)+D rn(x)r] longrightarrow (-1)^n+1(n+1)!
Combinando os dois resultados, concluímos que
limxto+inftyx^n+2D^n+1e^1/x = (-1)^n+1(n+1)!
Isso completa o passo indutivo.

Resposta

limx to +infty x^n+1 D^(n)e^1/x = (-1)^n n!

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