Prove que
!
Passo 1
O enunciado pede para provar que:
O conteúdo envolve a regra da cadeia, a regra do produto para derivadas de ordem
e análise assintótica de termos dominantes. Vamos usar indução sobre
.
Passo 2
Caso base
. Aplicando a regra da cadeia em
, temos
Multiplicando por
e tomando limite,
Logo, o caso
está verificado.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que para certo
valha
onde
isto é,
.
Passo 4
Derivamos essa expressão para obter
. Usando regra do produto,
Passo 5
Analisamos as duas parcelas separadamente, multiplicadas por
:
- Como
e ,
- Para o segundo termo,
e
. Assim,
Combinando os dois resultados, concluímos que
Isso completa o passo indutivo.