Quantos termos racionais tem o desenvolvimento de (raiz2+raiz[3]3)^100 ?

Passo 1

O enunciado nos pede para desenvolver (raiz2 + raiz[3]3)^100 usando o Teorema Binomial e contar quantos termos, na expansão, são números racionais (isto é, não têm raízes de 2 nem de 3). Vamos usar o binômio de Newton e analisar as potências para identificar quando o termo fica livre de radicais.

Passo 2

Pela fórmula do binômio de Newton, temos
(raiz2 + raiz[3]3)^100 = sumk=0^100 binom100k (raiz2)^100-k ,(raiz[3]3)^k
O termo geral é
Tk = binom100k (raiz2)^100-k (raiz[3]3)^k

Passo 3

Para remover as raízes escrevemos cada potência como potência inteira de base:
(raiz2)^100-k = 2^100-k2, (raiz[3]3)^k = 3^k3
Logo
Tk = binom100k,2^100-k2,3^k3
Esse termo só é racional se ambos os expoentes forem números inteiros:
100-k2in Z e k3in Z

Passo 4

A condição tfrac100-k2inZ implica que 100-k é par, isto é, k é par. A condição tfrack3inZ implica que k é múltiplo de 3. Assim k deve ser múltiplo do mínimo comum múltiplo de 2 e 3, isto é, de 6. Podemos escrever
k = 6m, minZ

Passo 5

Como 0 <= k <= 100, temos
0 <= 6m <= 100 Longrightarrow 0 <= m <= 1006
O maior inteiro menor ou igual a 100/6 é 16. Portanto
m = 0,1,2,dots,16,
totalizando 17 valores possíveis de m, e assim 17 termos racionais.

Resposta

17

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