Quantos termos racionais tem o desenvolvimento de
?
Passo 1
O enunciado nos pede para desenvolver
usando o Teorema Binomial e contar quantos termos, na expansão, são números racionais (isto é, não têm raízes de
nem de
). Vamos usar o binômio de Newton e analisar as potências para identificar quando o termo fica livre de radicais.
Passo 2
Pela fórmula do binômio de Newton, temos
O termo geral é
Passo 3
Para remover as raízes escrevemos cada potência como potência inteira de base:
Logo
Esse termo só é racional se ambos os expoentes forem números inteiros:
Passo 4
A condição
implica que
é par, isto é,
é par. A condição
implica que
é múltiplo de
. Assim
deve ser múltiplo do mínimo comum múltiplo de
e
, isto é, de
. Podemos escrever
Passo 5
Como
, temos
O maior inteiro menor ou igual a
é
. Portanto
totalizando
valores possíveis de
, e assim
termos racionais.