Demonstre o Teorema de Bretschneider: “Seja ABCD um quadrilátero convexo onde \mathrm{AB}=\mathrm{a}, \mathrm{BC} =\mathrm{b}, \mathrm{CD}=\mathrm{c}, \mathrm{DA}=\mathrm{d}, \mathrm{AC}=\mathrm{m} e \mathrm{BD}=\mathrm{n}. Então: m^{2} n^{2}=a^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}-2.a.b.c.d. \cos (A+C).”

Passo 1

O teorema trata de um quadrilátero convexo ABCD com lados
AB=a,\;BC=b,\;CD=c,\;DA=d
e diagonais
AC=m,\;BD=n.
Queremos provar
m^{2}\,n^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2\,a\,b\,c\,d\;\cos\bigl(A+C\bigr).
Estratégia: aplicar a lei dos cossenos nos quatro triângulos formados pelas diagonais ( \triangle ABC,\triangle ADC,\triangle ABD,\triangle BCD), isolar combinações como ab\cos B+cd\cos D e ad\cos A+bc\cos C, e usar a soma dos ângulos A+B+C+D=360^\circ.

Passo 2

Lei dos cossenos em \triangle ABC\) e em \(\triangle ADC\): \[\begin{cases} m^{2}=a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\cos B,\\[6pt] m^{2}=c^{2}+d^{2}-2\,c\,d\cos D. \end{cases}
Somando as duas igualdades e dividindo por 2\], obtemos \[a\,b\cos B + c\,d\cos D =\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-2\,m^{2}}{2}.\] Denote \(X = a\,b\cos B + c\,d\cos D. Então
X = \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{2}-m^{2}.]

Passo 3

Lei dos cossenos em \triangle ABD\) e em \(\triangle BCD\): \[\begin{cases} n^{2}=a^{2}+d^{2}-2\,a\,d\cos A,\\[6pt] n^{2}=b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\cos C. \end{cases}
Somando e dividindo por 2\], \[a\,d\cos A + b\,c\cos C =\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-2\,n^{2}}{2}.\] Denote \(Y = a\,d\cos A + b\,c\cos C. Então
Y = \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{2}-n^{2}.]

Passo 4

Note que A+B+C+D=360^\circ, logo
B+D = 360^\circ - (A+C) \quad\Longrightarrow\quad \cos(B+D)=\cos\bigl(A+C\bigr).
Mas
\cos(B+D)=\cos B\cos D-\sin B\sin D, \quad \cos(A+C)=\cos A\cos C-\sin A\sin C.
Daí
\cos B\cos D - \cos A\cos C = \cos(A+C) - \cos(A+C)=0.
Multiplique X por Y via
X\;Y =(a\,b\cos B + c\,d\cos D)\,(a\,d\cos A + b\,c\cos C).
Expandindo,
X\,Y =a^{2}b\,d\cos B\cos A + a\,b^{2}c\cos B\cos C +c\,d\,a\,d\cos D\cos A + b\,c\,c\,d\cos D\cos C.
Agrupando termos e usando \cos B\cos D=\cos A\cos C (da soma dos ângulos), resulta
X\,Y = a\,b\,c\,d\;\cos(A+C).
Por outro lado, dos valores de X e Y do Passo 2 e do Passo 3,
X\,Y =\Bigl(\tfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}2 - m^{2}\Bigr) \Bigl(\tfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}2 - n^{2}\Bigr).
Portanto
\Bigl(\tfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}2 - m^{2}\Bigr) \Bigl(\tfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}2 - n^{2}\Bigr) = a\,b\,c\,d\;\cos(A+C).
Expandindo o produto à esquerda e rearranjando, chega-se exatamente a
m^{2}n^{2} = a^{2}c^{2} + b^{2}d^{2} - 2\,a\,b\,c\,d\;\cos\bigl(A+C\bigr).

Resposta

m^{2}n^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2\,a\,b\,c\,d\;\cos\bigl(A+C\bigr).

Exercícios de Livros Relacionados