Demonstre o Teorema de Bretschneider: “Seja ABCD um quadrilátero convexo onde
e
. Então:
.a.b.c.d.
.”
Passo 1
O teorema trata de um quadrilátero convexo
com lados
e diagonais
Queremos provar
Estratégia: aplicar a lei dos cossenos nos quatro triângulos formados pelas diagonais (
), isolar combinações como
e
, e usar a soma dos ângulos
.
Passo 2
Lei dos cossenos em
Somando as duas igualdades e dividindo por
Então
Passo 3
Lei dos cossenos em
Somando e dividindo por
Então
Passo 4
Note que
, logo
Mas
Daí
Multiplique
por
via
Expandindo,
Agrupando termos e usando
(da soma dos ângulos), resulta
Por outro lado, dos valores de
e
do Passo
e do Passo
,
Portanto
Expandindo o produto à esquerda e rearranjando, chega-se exatamente a