Dentre todos os triângulos inscritos num dado círculo, mostre que o triângulo eqüilátero tem área máxima. Sugestão: sendo alpha, beta e gamma os ângulos centrais que subentendem os lados do triângulo, alpha+beta+gamma=2 pi, observe que a área do triângulo é múltiplo constante de sen alpha+sen beta-sen(alpha+beta).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, entre todos os triângulos inscritos em um mesmo círculo de raio R, aquele de maior área é o triângulo equilátero. O conteúdo envolvido é geometria plana e otimização com restrição de soma de ângulos centrais. Vamos usar a fórmula da área em função dos ângulos centrais e depois otimizar a soma sinalpha+sinbeta+singamma sob a condição alpha+beta+gamma=2pi.

Passo 2

Sejam alpha,beta,gamma os ângulos centrais que subtendem os lados do triângulo inscrito. Cada lado vale 2Rsin(ângulo central/2)â, mas uma forma direta de expressar a área A é
A = tfrac12 R^2l(sinalpha + sinbeta + singammar)
Portanto maximizar A equivale a maximizar
S(alpha,beta,gamma)=sinalpha+sinbeta+singamma
sujeito a
alpha+beta+gamma=2pi, alpha,beta,gamma>0

Passo 3

Como gamma = 2pi - (alpha+beta), podemos escrever
S(alpha,beta) =sinalpha + sinbeta + sinl(2pi - (alpha+beta)r) =sinalpha + sinbeta - sin(alpha+beta)
Agora temos um problema de otimização de duas variáveis livres alpha,beta com a restrição implícita alpha+beta<2pi.

Passo 4

Pelo princípio de simetria, a função S(alpha,beta) é simétrica em alpha e beta. Em geral, sob soma fixa alpha+beta, máximos de funções simétricas ocorrem em alpha=beta. Logo devemos ter
alpha=beta
Escrevendo alpha=beta=x implica gamma=2pi-2x.

Passo 5

Com alpha=beta=x, a função reduz-se a
f(x)=2sin x - sin(2x)
Calculamos a derivada:
f'(x)=2cos x - 2cos(2x)
Para um extremo interno, resolvemos
2cos x - 2cos(2x)=0 Long<=ftrightarrow cos x=cos(2x)
Isso ocorre quando 2x=2pi - x no intervalo relevante, i.e.
3x=2pi Longrightarrow x=tfrac2pi3

Passo 6

Em x=tfrac2pi3 temos alpha=beta=tfrac2pi3 e gamma=2pi-2x=2pi-tfrac4pi3=tfrac2pi3. Verificamos que é máximo pois essa escolha faz f''(x)<0, ou simplesmente porque em extremos de otimização em triângulos inscritos só vale alpha,beta,gamma>0.

Resposta

O triângulo que maximiza a área é aquele com alpha=beta=gamma=tfrac2pi3, ou seja, o triângulo equilátero.

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