Dentre todos os triângulos inscritos num dado círculo, mostre que o triângulo eqüilátero tem área máxima. Sugestão: sendo
e
os ângulos centrais que subentendem os lados do triângulo,
, observe que a área do triângulo é múltiplo constante de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, entre todos os triângulos inscritos em um mesmo círculo de raio
, aquele de maior área é o triângulo equilátero. O conteúdo envolvido é geometria plana e otimização com restrição de soma de ângulos centrais. Vamos usar a fórmula da área em função dos ângulos centrais e depois otimizar a soma
sob a condição
.
Passo 2
Sejam
os ângulos centrais que subtendem os lados do triângulo inscrito. Cada lado vale
, mas uma forma direta de expressar a área
é
Portanto maximizar
equivale a maximizar
sujeito a
Passo 3
Como
, podemos escrever
Agora temos um problema de otimização de duas variáveis livres
com a restrição implícita
.
Passo 4
Pelo princípio de simetria, a função
é simétrica em
e
. Em geral, sob soma fixa
, máximos de funções simétricas ocorrem em
. Logo devemos ter
Escrevendo
implica
.
Passo 5
Com
, a função reduz-se a
Calculamos a derivada:
Para um extremo interno, resolvemos
Isso ocorre quando
no intervalo relevante, i.e.
Passo 6
Em
temos
e
. Verificamos que é máximo pois essa escolha faz
, ou simplesmente porque em extremos de otimização em triângulos inscritos só vale
.
Resposta
O triângulo que maximiza a área é aquele com
, ou seja, o triângulo equilátero.