Dentro da estrutura da Mecânica Quântica (Equações (10.26) e seguintes), mostre que os seguintes operadores são hermitianos:
(b) momento angular \mathbf{L}=-i \hbar \mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla} \equiv-i \frac{h}{2 \pi} \mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador de momento angular
\mathbf{L} = -\,i\hbar\,\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla}
é hermitiano. O conteúdo de matéria é o conceito de operador hermitiano em Mecânica Quântica, que exige verificar
\langle\varphi|\mathbf{L}\,\psi\rangle \;=\;\langle\mathbf{L}\,\varphi|\psi\rangle
para quaisquer funções de onda \varphi e \psi que vão a zero no infinito. Para isso usaremos a definição de produto interno e integraremos por partes, descartando termos de contorno.

Passo 2

Vamos trabalhar com uma componente L_i de \mathbf{L}. Em índice de Einstein,
L_i = -\,i\hbar\,\varepsilon_{ijk}\,x_j\,\partial_k,
e o produto interno é
\langle\varphi|L_i \psi\rangle =\int \varphi^*(\mathbf{r})\,\bigl[-\,i\hbar\,\varepsilon_{ijk}\,x_j\,\partial_k\psi(\mathbf{r})\bigr]\,d^3r.

Passo 3

Separamos os dois termos que aparecem em \varepsilon_{ijk}x_j\partial_k:
\int \varphi^*\,x_j\,\partial_k\psi\,d^3r \quad\text{e}\quad \int \varphi^*\,x_k\,\partial_j\psi\,d^3r.
Por exemplo, para o primeiro fazemos integração por partes em \partial_k:
\int \varphi^*\,x_j\,\partial_k\psi\,d^3r =\Bigl[\varphi^*\,x_j\,\psi\Bigr]_{\!\infty} -\int \psi\,\partial_k\bigl(\varphi^*\,x_j\bigr)\,d^3r.
As funções vão a zero no infinito, então o termo de fronteira some e
\partial_k(\varphi^*\,x_j) = x_j\,\partial_k\varphi^* + \varphi^*\,\delta_{kj}.
Logo
\int \varphi^*\,x_j\,\partial_k\psi\,d^3r =-\int x_j\,(\partial_k\varphi^*)\,\psi\,d^3r -\int \varphi^*\,\delta_{kj}\,\psi\,d^3r.
Fazemos analogamente para o outro termo com x_k\partial_j\psi.

Passo 4

Substituindo de volta em
\langle\varphi|L_i\psi\rangle=-\,i\hbar\varepsilon_{ijk}[\dots]
vemos que os termos proporcionais a \delta_{jk} cancelam, sobrando
\langle\varphi|L_i\psi\rangle = -\,i\hbar\varepsilon_{ijk} \Bigl[-\!\int x_j\,\partial_k\varphi^*\,\psi\,d^3r + \!\int x_k\,\partial_j\varphi^*\,\psi\,d^3r\Bigr] = i\hbar\varepsilon_{ijk}\int \bigl(x_j\,\partial_k\varphi^* - x_k\,\partial_j\varphi^*\bigr)\psi\,d^3r.
Mas como \mathbf{r} é real, isso é exatamente
\int\bigl[L_i\varphi(\mathbf{r})\bigr]^*\,\psi(\mathbf{r})\,d^3r =\langle L_i\varphi|\psi\rangle.
Portanto cada componente L_i satisfaz \langle\varphi|L_i\psi\rangle=\langle L_i\varphi|\psi\rangle.

Resposta

O operador \mathbf{L}=-\,i\hbar\,\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla} é hermitiano.

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