Dentro da estrutura da Mecânica Quântica (Equações (10.26) e seguintes), mostre que os seguintes operadores são hermitianos:
(b) momento angular
(b) momento angular
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador de momento angular
é hermitiano. O conteúdo de matéria é o conceito de operador hermitiano em Mecânica Quântica, que exige verificar
para quaisquer funções de onda
e
que vão a zero no infinito. Para isso usaremos a definição de produto interno e integraremos por partes, descartando termos de contorno.
Passo 2
Vamos trabalhar com uma componente
de
. Em índice de Einstein,
e o produto interno é
Passo 3
Separamos os dois termos que aparecem em
:
Por exemplo, para o primeiro fazemos integração por partes em
:
As funções vão a zero no infinito, então o termo de fronteira some e
Logo
Fazemos analogamente para o outro termo com
.
Passo 4
Substituindo de volta em
vemos que os termos proporcionais a cancelam, sobrando
vemos que os termos proporcionais a
Mas como
é real, isso é exatamente
Portanto cada componente
satisfaz
.
Resposta
O operador
é hermitiano.