10.1.9 Mostre que, se uma função
tiver de satisfazer a equação de Laplace em uma região finita do espaço e satisfazer condições de contorno de Dirichlet sobre toda a superfície fechada de ligação, então
é única.
Sugestão: Uma das formas do teorema de Green, Seção 1.11, será útil.
Sugestão: Uma das formas do teorema de Green, Seção 1.11, será útil.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num domínio limitado
do espaço com superfície fechada
, a equação de Laplace
com condição de contorno de Dirichlet (i.e.\
dado em toda
) admite solução única. O conteúdo usado será o teorema de Green (Seção
), em particular a identidade que relaciona integrais de volume e de superfície.
Passo 2
Suponha que existam duas soluções
e
que satisfazem
e
Defina a diferença
Então
em
e
sobre
.
Passo 3
Use a forma de Green para a mesma função
:
Como
em
e
sobre
, o lado direito é zero. Logo
Passo 4
A integral de um quadrado não-negativo sendo zero implica
em todo
. Assim
é constante em
. Mas como
sobre
, essa constante deve ser zero. Logo
o que significa
em
.
Resposta
A solução da equação de Laplace com contorno de Dirichlet é única.