10.1.9 Mostre que, se uma função \psi tiver de satisfazer a equação de Laplace em uma região finita do espaço e satisfazer condições de contorno de Dirichlet sobre toda a superfície fechada de ligação, então \psi é única.
Sugestão: Uma das formas do teorema de Green, Seção 1.11, será útil.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num domínio limitado V do espaço com superfície fechada S, a equação de Laplace
\nabla^2 \psi = 0
com condição de contorno de Dirichlet (i.e.\ \psi dado em toda S) admite solução única. O conteúdo usado será o teorema de Green (Seção 1.11), em particular a identidade que relaciona integrais de volume e de superfície.

Passo 2

Suponha que existam duas soluções \psi_1 e \psi_2 que satisfazem
\nabla^2\psi_1=0,\quad \nabla^2\psi_2=0\quad\text{em }V,
e
\psi_1=\psi_2\quad\text{sobre }S.
Defina a diferença
u=\psi_1-\psi_2.
Então
\nabla^2 u=\nabla^2\psi_1-\nabla^2\psi_2=0-0=0
em V e
u=0
sobre S.

Passo 3

Use a forma de Green para a mesma função u:
\int_V\bigl(u\,\nabla^2 u + \nabla u\cdot\nabla u\bigr)\,dV =\int_S u\,\frac{\partial u}{\partial n}\,dS.
Como \nabla^2 u=0 em V e u=0 sobre S, o lado direito é zero. Logo
\int_V|\nabla u|^2\,dV=0.

Passo 4

A integral de um quadrado não-negativo sendo zero implica \nabla u=0 em todo V. Assim u é constante em V. Mas como u=0 sobre S, essa constante deve ser zero. Logo
u(\mathbf r)=0\quad\forall\,\mathbf r\in V,
o que significa \psi_1=\psi_2 em V.

Resposta

A solução da equação de Laplace com contorno de Dirichlet é única.

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