10.1.5
, o polinômio de Chebyshev (tipo II), satisfaz a EDO, Equação (13.101),
(a) Localize os pontos singulares que aparecem no plano finito e mostre se são regulares ou irregulares.
(b) Ponha essa equação em forma auto-adjunta.
(c) Identifique o autovalor completo.
(d) Identifique a função de peso.
(b) Ponha essa equação em forma auto-adjunta.
(c) Identifique o autovalor completo.
(d) Identifique a função de peso.
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio de Chebyshev tipo II
satisfazendo a EDO
Precisamos fazer:
(a) localizar os pontos singulares no plano finito e classificá-los;
(b) escrever em forma auto-adjunta (Sturm–Liouville);
(c) identificar o autovalor completo;
(d) identificar a função de peso.
(a) localizar os pontos singulares no plano finito e classificá-los;
(b) escrever em forma auto-adjunta (Sturm–Liouville);
(c) identificar o autovalor completo;
(d) identificar a função de peso.
Passo 2
Escrevendo
com
vemos que
e
não são analíticas quando
, isto é, em
.
Para verificar que são singulares regulares, basta checar que
Para verificar que são singulares regulares, basta checar que
são finitos em
. De fato ambos ficam com pólos de ordem 1 ou menos, logo
são singulares regulares.
Passo 3
Queremos uma função
tal que, multiplicando a EDO original por
, o termo em
venha de
Isto dá
Multiplicando tudo por
obtemos a forma auto-adjunta
Passo 4
Comparando com a forma padrão de Sturm–Liouville
vemos que o autovalor completo é
Passo 5
A função de peso
do problema de Sturm–Liouville é exatamente o fator que multiplica
na forma auto-adjunta, ou seja
Resposta
(a) Pontos singulares em
, ambos regulares.
(b)
(b)
(c)
.
(d) .
(d)