10.1.5 U_{n}(x), o polinômio de Chebyshev (tipo II), satisfaz a EDO, Equação (13.101),
\left(1-x^{2}\right) U_{n}^{\prime \prime}(x)-3 x U_{n}^{\prime}(x)+n(n+2) U_{n}(x)=0
(a) Localize os pontos singulares que aparecem no plano finito e mostre se são regulares ou irregulares.
(b) Ponha essa equação em forma auto-adjunta.
(c) Identifique o autovalor completo.
(d) Identifique a função de peso.

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio de Chebyshev tipo II U_{n}(x) satisfazendo a EDO
(1 - x^2)\,U_{n}''(x)\;-\;3x\,U_{n}'(x)\;+\;n(n+2)\,U_{n}(x)\;=\;0.
Precisamos fazer:
(a) localizar os pontos singulares no plano finito e classificá-los;
(b) escrever em forma auto-adjunta (Sturm–Liouville);
(c) identificar o autovalor completo;
(d) identificar a função de peso.

Passo 2

Escrevendo
U_{n}''(x)\;+\;p(x)\,U_{n}'(x)\;+\;q(x)\,U_{n}(x)=0
com
p(x)=-\frac{3x}{1-x^2}, \quad q(x)=\frac{n(n+2)}{1-x^2},
vemos que p(x) e q(x) não são analíticas quando 1-x^2=0, isto é, em x=\pm1.
Para verificar que são singulares regulares, basta checar que
\lim_{x\to x_{0}}(x-x_{0})\,p(x) \quad\text{e}\quad \lim_{x\to x_{0}}(x-x_{0})^2\,q(x)
são finitos em x_{0}=\pm1. De fato ambos ficam com pólos de ordem 1 ou menos, logo x=\pm1 são singulares regulares.

Passo 3

Queremos uma função \mu(x) tal que, multiplicando a EDO original por \mu, o termo em U_{n}' venha de
\frac{d}{dx}\bigl[\mu(x)\,(1-x^2)\bigr] \;=\;-3x\,\mu(x).
Isto dá
\frac{\mu'}{\mu}=-\frac{x}{1-x^2} \;\;\Longrightarrow\;\; \mu(x)=(1-x^2)^{1/2}.
Multiplicando tudo por (1-x^2)^{1/2} obtemos a forma auto-adjunta
\frac{d}{dx}\!\Bigl[(1-x^2)^{3/2}\,U_{n}'(x)\Bigr] \;+\;n(n+2)\,(1-x^2)^{1/2}\,U_{n}(x) \;=\;0.

Passo 4

Comparando com a forma padrão de Sturm–Liouville
\bigl[p(x)\,y'\bigr]'+\lambda\,w(x)\,y=0
vemos que o autovalor completo é
\lambda_n \;=\; n(n+2), \quad n=0,1,2,\dots \,.

Passo 5

A função de peso w(x) do problema de Sturm–Liouville é exatamente o fator que multiplica U_{n}(x) na forma auto-adjunta, ou seja
w(x)=(1-x^2)^{1/2}.

Resposta

(a) Pontos singulares em x=\pm1, ambos regulares.
(b)
\frac{d}{dx}\!\Bigl[(1-x^2)^{3/2}\,U_{n}'(x)\Bigr] + n(n+2)\,(1-x^2)^{1/2}\,U_{n}(x)=0.
(c) \lambda_{n}=n(n+2).
(d) w(x)=(1-x^2)^{1/2}.

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