(UF-GO) Ao deparar-se com a expressão
e não dispondo de uma calculadora, um estudante substituiu
por 1,41 e efetuou a divisão, obtendo uma aproximação para a expressão. Um segundo estudante, antes de efetuar a divisão, racionalizou a expressão, eliminando o radical do denominador. Depois, também substituiu
por 1,41 e efetuou as operações, obtendo, para sua surpresa, uma aproximação diferente para a mesma expressão. Considerando o exposto, indique por A a aproximação obtida pelo primeiro estudante, por B a obtida pelo segundo e por C o valor exato da expressão que os estudantes não tinham como calcular. Considerando que
, coloque A, B e C em ordem crescente, sendo A e B números racionais e C um número irracional, e justifique matematicamente qual dos dois estudantes obteve o valor mais próximo do valor exato da expressão.
Passo 1
O enunciado pede que a gente compare três valores da expressão original
onde
– é a aproximação obtida substituindo
por
diretamente no denominador e dividindo;
– é a aproximação obtida primeiro racionalizando o denominador e depois substituindo
;
– é o valor exato
, que é irracional.
Precisamos achar ,
e
, ordenar
crescentemente e dizer qual estudante chegou mais perto de
.
–
–
–
Precisamos achar
Passo 2
Calcular
:
Multiplicando numerador e denominador por 100 temos
Logo
.
Passo 3
Racionalizar e calcular
:
Agora substituímos
:
Passo 4
Valor exato
:
que é irracional e, numericamente, vale aproximadamente
Passo 5
Colocando em ordem crescente:
Notamos que
e
são racionais e
é irracional.
Passo 6
Para ver quem chegou mais perto de
, comparamos os erros:
Como
, o primeiro estudante (que fez
) obteve a aproximação mais próxima de
.
Resposta
C < A < B, e o primeiro estudante (que deu
) ficou mais perto do valor exato.