(UF-GO) Ao deparar-se com a expressão 34102+raiz2 e não dispondo de uma calculadora, um estudante substituiu raiz2 por 1,41 e efetuou a divisão, obtendo uma aproximação para a expressão. Um segundo estudante, antes de efetuar a divisão, racionalizou a expressão, eliminando o radical do denominador. Depois, também substituiu raiz2 por 1,41 e efetuou as operações, obtendo, para sua surpresa, uma aproximação diferente para a mesma expressão. Considerando o exposto, indique por A a aproximação obtida pelo primeiro estudante, por B a obtida pelo segundo e por C o valor exato da expressão que os estudantes não tinham como calcular. Considerando que 1,41<raiz2, coloque A, B e C em ordem crescente, sendo A e B números racionais e C um número irracional, e justifique matematicamente qual dos dois estudantes obteve o valor mais próximo do valor exato da expressão.

Passo 1

O enunciado pede que a gente compare três valores da expressão original
34102+raiz2
onde
A é a aproximação obtida substituindo raiz2 por 1,41 diretamente no denominador e dividindo;
B é a aproximação obtida primeiro racionalizando o denominador e depois substituindo raiz2=1,41;
C é o valor exato 34102+raiz2, que é irracional.
Precisamos achar A, B e C, ordenar A,B,C crescentemente e dizer qual estudante chegou mais perto de C.

Passo 2

Calcular A:
A = 34102 + 1,41 = 34103,41
Multiplicando numerador e denominador por 100 temos
A = 341000341 = 1000
Logo A = 1000.

Passo 3

Racionalizar e calcular B:
34102+raiz2 =3410(2-raiz2)(2+raiz2)(2-raiz2) =3410(2-raiz2)4-2 =3410(2-raiz2)2 =1705,(2-raiz2)
Agora substituímos raiz2=1,41:
B = 1705,(2 - 1,41) = 1705cdot0,59 = 1705cdot(0,6 - 0,01) =1705cdot0,6 -1705cdot0,01 = 1023 -17,05 = 1005,95

Passo 4

Valor exato C:
C = 34102+raiz2,
que é irracional e, numericamente, vale aproximadamente
Capprox 34103,41421356 approx 998,77

Passo 5

Colocando em ordem crescente:
Capprox998,77 < A=1000 < B=1005,95
Notamos que A e B são racionais e C é irracional.

Passo 6

Para ver quem chegou mais perto de C, comparamos os erros:
A - C approx 1000 - 998,77 = 1,23, B - C approx 1005,95 - 998,77 = 7,18
Como 1,23 < 7,18, o primeiro estudante (que fez A) obteve a aproximação mais próxima de C.

Resposta

C < A < B, e o primeiro estudante (que deu A) ficou mais perto do valor exato.

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