(ITA-SP) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A subset B e n (C: C subset B-A)=128. Então, das afirmações abaixo:
I. n(B)-n(A) é único;
II. n(B)+n(A) <= 128;
III. a dupla ordenada ( n ( A ), n (B)) é única;
é (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
c) apenas III.
e) nenhuma.
b) apenas II.
d) apenas I e II.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são conjuntos finitos não vazios com Asubset B e que
nl(C: Csubset B-Ar)=128
O conteúdo aqui é contar o número de subconjuntos de um conjunto finito: se um conjunto tem k elementos, ele tem 2^k subconjuntos.

Passo 2

Seja k = n(B-A). Então o número de subconjuntos de B - A é
2^k = 128
Como 128 = 2^7, concluímos que
n(B-A)=7

Passo 3

Da igualdade n(B-A)=n(B)-n(A)=7 vemos que a diferença n(B)-n(A) vale sempre 7, independentemente de n(A). Logo a afirmação I é verdadeira.

Passo 4

Para II, note que
n(B)+n(A)=l(n(A)+7r)+n(A)=2,n(A)+7
Como n(A) pode ser qualquer inteiro positivo, 2,n(A)+7 pode ultrapassar 128. Por exemplo, se n(A)=61 então 2cdot61+7=129>128. Logo II não é sempre verdadeira.

Passo 5

Para III, visto que só sabemos n(B)-n(A)=7, mas n(A) pode variar livremente, há infinitas possibilidades para o par l(n(A),n(B)r). Portanto III é falsa.

Resposta

(a) apenas I.

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