(ITA-SP) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A
e n
. Então, das afirmações abaixo:
I.
é único;
II.
;
III. a dupla ordenada ( n ( A ), n (B)) é única;
é (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
c) apenas III.
e) nenhuma.
b) apenas II.
d) apenas I e II.
I.
II.
III. a dupla ordenada ( n ( A ), n (B)) é única;
é (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
c) apenas III.
e) nenhuma.
b) apenas II.
d) apenas I e II.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são conjuntos finitos não vazios com
e que
O conteúdo aqui é contar o número de subconjuntos de um conjunto finito: se um conjunto tem
elementos, ele tem
subconjuntos.
Passo 2
Seja
. Então o número de subconjuntos de
é
Como
, concluímos que
Passo 3
Da igualdade
vemos que a diferença
vale sempre 7, independentemente de
. Logo a afirmação I é verdadeira.
Passo 4
Para II, note que
Como
pode ser qualquer inteiro positivo,
pode ultrapassar
. Por exemplo, se
então
. Logo II não é sempre verdadeira.
Passo 5
Para III, visto que só sabemos
, mas
pode variar livremente, há infinitas possibilidades para o par
. Portanto III é falsa.
Resposta
(a) apenas I.