DEPRECIAÇÃO Certa máquina industrial sofre uma depreciação tal que o valor da máquina após t anos é dado por Q(t)= 20.000 e^{-0,4 t} reais.
a. Qual é a taxa de variação, com o tempo, do valor da máquina após 5 anos?
b. Qual é a taxa de variação percentual do valor da máquina após t anos? Essa taxa depende de t ou é constante?

Passo 1

O enunciado nos dá o valor da máquina após t anos pela função
Q(t) = 20.000\,e^{-0,4\,t}
Queremos (a) a taxa de variação instantânea do valor no instante t=5 e (b) a taxa de variação percentual em função de t. Para isso, vamos usar o conceito de derivada de uma exponencial e a definição de taxa percentual de variação.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de Q. Como \frac{d}{dt}e^{u(t)}=u'(t)e^{u(t)}, aqui u(t)=-0,4\,t e u'(t)=-0,4. Logo,
Q'(t)=20.000\cdot(-0,4)\,e^{-0,4\,t}=-8.000\,e^{-0,4\,t}.
A taxa de variação no instante t=5 é
Q'(5)=-8.000\,e^{-0,4\cdot5}=-8.000\,e^{-2}\approx -8.000\cdot0{,}1353\approx -1.082,6.
Portanto, após 5 anos o valor da máquina diminui a uma velocidade de aproximadamente -1.082{,}6 reais por ano.

Passo 3

A taxa de variação percentual é definida por
\frac{Q'(t)}{Q(t)}\times100\%.
Usando Q'(t)=-8.000\,e^{-0,4t} e Q(t)=20.000\,e^{-0,4t}, temos
\frac{Q'(t)}{Q(t)} =\frac{-8.000\,e^{-0,4t}}{20.000\,e^{-0,4t}} =-0,4 \quad\Longrightarrow\quad -0,4\times100\% = -40\%.
Essa taxa é independente de t, ou seja, a depreciação ocorre a -40\% ao ano em qualquer instante.

Resposta

a) \displaystyle Q'(5)=-8.000\,e^{-2}\approx -1.082{,}6 reais/ano.
b) A taxa percentual é constante e igual a -40\% ao ano.

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