A função demanda q=D(p) de um produto é dada em termos de um preço unitário p para o qual todas as q unidades serão vendidas. Em cada caso:
(a) Determine a elasticidade da demanda e calcule os valores de p para os quais a demanda é elástica, inelástica e de elasticidade unitária.
(b) Se o preço for aumentado em 2 % a partir de R 15,00$, qual é o efeito esperado sobre a demanda?
(c) Determine a receita R(p) obtida com a venda de q unidades por um preço unitário p. Para que valor de p a receita é máxima?
D(p)=3.000 e^{-0,04 p}

Passo 1

O enunciado nos dá a função demanda
D(p)=3000\,e^{-0,04p}
e pede:
(a) a elasticidade da demanda e as regiões elástica, inelástica e unitária;
(b) o efeito de um aumento de 2\% no preço a partir de R\$15{,}00;
(c) a receita R(p) e o preço que a maximiza.
Vamos usar conceitos de elasticidade-preço, aproximação de variações percentuais e otimização de receita.

Passo 2

Elasticidade-preço da demanda define-se por
\varepsilon(p)=\frac{p\,D'(p)}{D(p)}.
Como
D'(p)=-0,04\;3000\,e^{-0,04p}=-0,04\,D(p),
segue
\varepsilon(p)=\frac{p\cdot(-0,04\,D(p))}{D(p)}=-0,04\,p.

Passo 3

Para classificar:
– Elástica se \varepsilon(p)<-1 \Rightarrow -0,04\,p<-1 \Rightarrow p>25.
– Inelástica se -1<\varepsilon(p)<0 \Rightarrow p<25.
– Elasticidade unitária se \varepsilon(p)=-1 \Rightarrow p=25.

Passo 4

Para p=15 temos \varepsilon(15)=-0,04\cdot15=-0,6.
Um aumento de 2\% no preço provoca variação percentual aproximada na demanda
\Delta q/q\approx\varepsilon(15)\times2\%=-0,6\times2\%=-1,2\%.
Ou seja, a demanda cai cerca de 1{,}2\%.

Passo 5

A receita é
R(p)=p\,D(p)=3000\,p\,e^{-0,04p}.
Para maximizar, derivamos:
R'(p)=3000\,e^{-0,04p}(1-0,04p)
e igualamos a zero: 1-0,04p=0 \Rightarrow p=25.
Verifica-se que é máximo.

Resposta

(a) \displaystyle \varepsilon(p)=-0,04p. Elasticidade elástica para p>25, inelástica para p<25, unitária em p=25.
(b) A demanda cai aproximadamente 1{,}2\%.
(c) \displaystyle R(p)=3000\,p\,e^{-0,04p}, máxima em p=25.

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