Use a técnica da derivação logaritmica para calcular a derivada f^{\prime}(x).
f(x)=5^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=5^{x^{2}} usando derivação logarítmica. Vamos aplicar o logaritmo natural para simplificar a diferenciação de uma função exponencial cujo expoente é uma função de x.

Passo 2

Tomamos o logaritmo de ambos os lados:
\ln f(x) = \ln\bigl(5^{x^{2}}\bigr).
Como \ln(a^{b})=b\ln a, obtemos
\ln f(x) = x^{2}\,\ln 5.
Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. Do lado esquerdo vem a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[\ln f(x)\bigr] = \frac{f'(x)}{f(x)},
e do lado direito,
\frac{d}{dx}\bigl[x^{2}\ln 5\bigr] = 2x\,\ln 5.
Logo
\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x\,\ln 5.

Passo 3

Isolando f'(x), multiplicamos ambos os lados por f(x):
f'(x) = f(x)\,\bigl(2x\,\ln 5\bigr).
Como f(x)=5^{x^{2}}, concluímos
f'(x) = 2x\,\ln 5 \;\;5^{x^{2}}.

Resposta

f'(x) = 2x\,\ln 5 \;5^{x^{2}}.

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