Derivação logartmica. Derivar as seguintes funções, tendo previamente tomado o logaritmo de ambos os membros da equação:
y=raiz(x-1)(2 x+3)(x-5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y = raiz(x-1)(2x+3)(x-5)
usando derivação logarítmica, ou seja, tomar ln em ambos os lados antes de derivar.

Passo 2

Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
ln y = lnl((x-1)(2x+3)(x-5)r)^!1/2 = tfrac12l[ln(x-1)+ln(2x+3)+ln(x-5)r]

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. Do lado esquerdo,
ddx[ln y] = y'y
Do lado direito, aplicamos a regra da soma e a derivada de ln(u):
ddxl[tfrac12ln(x-1)r] = tfrac12cdot1x-1, ddxl[tfrac12ln(2x+3)r] = tfrac12cdot22x+3, ddxl[tfrac12ln(x-5)r] = tfrac12cdot1x-5
Somando,
y'y = tfrac12l[1x-1 + 22x+3 + 1x-5r]

Passo 4

Isolamos y':
y' = y ;cdot;tfrac12l[1x-1 + 22x+3 + 1x-5r]
Como y=raiz(x-1)(2x+3)(x-5), fica

Resposta

y' = raiz(x-1)(2x+3)(x-5)2;l(1x-1 + 22x+3 + 1x-5r)

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