A regra de l’Hôpital afirma que, se lim x a f(x)=0 e lim x a g(x)=0, então
lim x a f(x)g(x)=lim x a f^prime(x)g^prime(x)
contanto que o limite do membro direito exista. Aplicando essa regra, determinar os seguintes limites:
A regra continua válida quando f / g assume a “forma indeterminada” infty / infty para x=a, e também quando x tende a infinito. Calcular:
lim x infty xlog ^2 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftyxl(log xr)^2,
usando a regra de L’Hôpital para formas indeterminadas do tipo infty/infty. Vamos identificar f(x)=x e g(x)=(log x)^2 e verificar as condições de aplicação.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação:
quando xtoinfty temos f(x)=xtoinfty e g(x)=(log x)^2toinfty,
logo tfracf(x)g(x) é do tipo infty/infty e podemos usar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital pela primeira vez, calculamos
f'(x)=1, g'(x)=2,log xcdot1x=2log xx,
então
limxtoinftyx(log x)^2 =limxtoinftyf'(x)g'(x) =limxtoinfty1tfrac2log xx =limxtoinftyx2log x

Passo 4

O novo quociente tfracx2log x ainda é da forma infty/infty, pois xtoinfty e log xtoinfty. Aplicando L’Hôpital de novo:
tilde f(x)=x, tilde f'(x)=1, tilde g(x)=2log x, tilde g'(x)=2cdot1x=2x,
logo
limxtoinftyx2log x =limxtoinftytilde f'(x)tilde g'(x) =limxtoinfty12/x =limxtoinftyx2 =infty

Resposta

infty

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