Como as derivadas aparecem no estudo do movimento? O que você pode aprender sobre o movimento de um corpo ao longo
de uma reta, examinando as derivadas da função posição do corpo? Dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pergunta como as derivadas da função posição de um corpo em movimento retilíneo fornecem informações sobre o movimento. O conteúdo é Derivadas aplicadas à Cinemática unidimensional. Para resolver, vamos ver que a primeira derivada é a velocidade, a segunda é a aceleração, interpretar sinais e magnitudes, e dar exemplos concretos.

Passo 2

Definimos a posição do corpo ao longo de uma reta por uma função s(t), onde t é o tempo. A primeira derivada de s em relação a t é a velocidade instantânea:
v(t) = s'(t).
Isso vem da definição de derivada como taxa de variação instantânea da posição.

Passo 3

A segunda derivada de s em relação a t é a aceleração instantânea:
a(t) = v'(t) = s''(t).
Ela representa a taxa de variação da velocidade, isto é, como o ritmo de mudança da posição se altera ao longo do tempo.

Passo 4

Interpretando sinais e magnitudes:
  1. Se v(t)>0, o corpo se move no sentido positivo; se v(t)<0, move-se no sentido negativo.
  2. O valor \lvert v(t)\rvert é a velocidade escalar (rapidez).
  3. Se a(t)>0, a velocidade cresce (o corpo acelera no sentido de v(t)); se a(t)<0, ele desacelera (ou acelera no sentido oposto).
  4. A concavidade de s(t) (sinal de s''(t)) indica se o gráfico de posição “abre para cima” (aceleração positiva) ou “abre para baixo” (aceleração negativa). Pontos em que a(t)=0 podem ser pontos de reversão de movimento.

Passo 5

Exemplos:
— Movimento uniforme:
s(t)=5t \quad\Rightarrow\quad v(t)=s'(t)=5,\quad a(t)=s''(t)=0.
Aqui a velocidade é constante e não há aceleração.
— Movimento uniformemente acelerado:
s(t)=4t^{2}\quad\Rightarrow\quad v(t)=8t,\quad a(t)=8.
A aceleração é constante e positiva, indicando que a rapidez cresce linearmente.
— Mudança de sentido:
s(t)=t^{3}-3t
v(t)=3t^{2}-3,\quad a(t)=6t.
Temos v(t)=0 em t=\pm1. Para t<-1 e t>1, v(t)>0; para -1<t<1, v(t)<0. O corpo inverte o sentido em t=-1 e t=1.

Resposta

Examinando s'(t) e s''(t) você obtém, respectivamente, a velocidade e a aceleração de um corpo em movimento retilíneo. O sinal de s'(t) indica o sentido do movimento, o seu módulo é a rapidez, e o sinal de s''(t) mostra se o corpo está acelerando ou desacelerando. Pontos onde s'(t)=0 podem marcar inversão de direção, e onde s''(t)=0 podem indicar mudança na concavidade da trajetória.

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