Como as derivadas aparecem no estudo do movimento? O que você pode aprender sobre o movimento de um corpo ao longo
de uma reta, examinando as derivadas da função posição do corpo? Dê exemplos.
de uma reta, examinando as derivadas da função posição do corpo? Dê exemplos.
Passo 1
O enunciado pergunta como as derivadas da função posição de um corpo em movimento retilíneo fornecem informações sobre o movimento. O conteúdo é Derivadas aplicadas à Cinemática unidimensional. Para resolver, vamos ver que a primeira derivada é a velocidade, a segunda é a aceleração, interpretar sinais e magnitudes, e dar exemplos concretos.
Passo 2
Definimos a posição do corpo ao longo de uma reta por uma função
, onde
é o tempo. A primeira derivada de
em relação a
é a velocidade instantânea:
Isso vem da definição de derivada como taxa de variação instantânea da posição.
Passo 3
A segunda derivada de
em relação a
é a aceleração instantânea:
Ela representa a taxa de variação da velocidade, isto é, como o ritmo de mudança da posição se altera ao longo do tempo.
Passo 4
Interpretando sinais e magnitudes:
- Se
, o corpo se move no sentido positivo; se , move-se no sentido negativo. - O valor
é a velocidade escalar (rapidez). - Se
, a velocidade cresce (o corpo acelera no sentido de ); se , ele desacelera (ou acelera no sentido oposto). - A concavidade de
(sinal de ) indica se o gráfico de posição “abre para cima” (aceleração positiva) ou “abre para baixo” (aceleração negativa). Pontos em que podem ser pontos de reversão de movimento.
Passo 5
Exemplos:
— Movimento uniforme:
— Movimento uniforme:
Aqui a velocidade é constante e não há aceleração.
— Movimento uniformemente acelerado:
— Movimento uniformemente acelerado:
A aceleração é constante e positiva, indicando que a rapidez cresce linearmente.
— Mudança de sentido:
— Mudança de sentido:
Temos
em
. Para
e
,
; para
,
. O corpo inverte o sentido em
e
.
Resposta
Examinando
e
você obtém, respectivamente, a velocidade e a aceleração de um corpo em movimento retilíneo. O sinal de
indica o sentido do movimento, o seu módulo é a rapidez, e o sinal de
mostra se o corpo está acelerando ou desacelerando. Pontos onde
podem marcar inversão de direção, e onde
podem indicar mudança na concavidade da trajetória.