O que é uma segunda derivada? E uma terceira derivada? Quantas derivadas têm as funções que você conhece? Cite exemplos.
Passo 1
O enunciado pede para explicarmos o que são a segunda e a terceira derivadas de uma função, além de comentar sobre quantas vezes diferentes funções que conhecemos podem ser diferenciadas. O conteúdo envolve derivadas de ordem superior e exemplos de funções com diferentes graus de suavidade.
Passo 2
Antes de definir a segunda e a terceira derivada, vale lembrar a definição recursiva de derivadas de ordem
. Se
é diferenciável em um ponto
, sua primeira derivada é
Se
também for diferenciável em
, então a segunda derivada de
em
é
Em geral, a derivada de ordem
é
desde que a derivada de ordem
exista e seja diferenciável.
Passo 3
A segunda derivada de
em
, denotada por
, mede a variação da taxa de variação de
; geometricamente, dá informação sobre a concavidade do gráfico de
. Por exemplo, para
temos
Aqui a segunda derivada é constante igual a
e a terceira já é zero.
Passo 4
A terceira derivada de
em
, denotada por
, é simplesmente a derivada de
. Ela indica como varia a concavidade de
. No exemplo anterior com
, o cálculo mostrou que
ou seja, a concavidade não muda.
Passo 5
Agora, quantas derivadas diferentes funções conhecidas admitem?
- Polinômios como
são diferenciáveis quantas vezes quisermos: são . A partir da derivada de ordem todas ficam zero. - Funções elementares como
, e são também : a cada derivada volta-se a obter a mesma família de funções. - Funções que possuem canto ou descontinuidade de derivada, como
, não são deriváveis em , então não há segunda derivada global. - Há funções suaves até um certo grau, por exemplo
é derivável em mas sua derivada não é derivável em . - Existem ainda funções contínuas mas não deriváveis em nenhum ponto (por exemplo a função de Weierstrass), mostrando que nem toda função tem derivada sequer de primeira ordem.
Resposta
A segunda derivada de uma função
em
é
e a terceira derivada é
Funções polinomiais, exponenciais e trigonométricas são infinitamente diferenciáveis (
). Já funções com pontos angulosos (por exemplo
em
) ou singularidades (por exemplo
em
) têm número limitado de derivadas.