O que é uma segunda derivada? E uma terceira derivada? Quantas derivadas têm as funções que você conhece? Cite exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para explicarmos o que são a segunda e a terceira derivadas de uma função, além de comentar sobre quantas vezes diferentes funções que conhecemos podem ser diferenciadas. O conteúdo envolve derivadas de ordem superior e exemplos de funções com diferentes graus de suavidade.

Passo 2

Antes de definir a segunda e a terceira derivada, vale lembrar a definição recursiva de derivadas de ordem n. Se f é diferenciável em um ponto x, sua primeira derivada é
f'(x) = \frac{d}{dx}f(x).
Se f' também for diferenciável em x, então a segunda derivada de f em x é
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(f'(x)\bigr).
Em geral, a derivada de ordem n é
f^{(n)}(x) = \frac{d}{dx}\bigl(f^{(n-1)}(x)\bigr),
desde que a derivada de ordem n-1 exista e seja diferenciável.

Passo 3

A segunda derivada de f em x, denotada por f''(x), mede a variação da taxa de variação de f; geometricamente, dá informação sobre a concavidade do gráfico de f. Por exemplo, para
f(x)=x^2
temos
f'(x)=2x, \quad f''(x)=2, \quad f'''(x)=0.
Aqui a segunda derivada é constante igual a 2 e a terceira já é zero.

Passo 4

A terceira derivada de f em x, denotada por f'''(x), é simplesmente a derivada de f''(x). Ela indica como varia a concavidade de f. No exemplo anterior com f(x)=x^2, o cálculo mostrou que
f''(x)=2 \implies f'''(x)=0,
ou seja, a concavidade não muda.

Passo 5

Agora, quantas derivadas diferentes funções conhecidas admitem?
  • Polinômios como f(x)=x^n são diferenciáveis quantas vezes quisermos: são C^\infty. A partir da derivada de ordem n+1 todas ficam zero.
  • Funções elementares como e^x, \sin x e \cos x são também C^\infty: a cada derivada volta-se a obter a mesma família de funções.
  • Funções que possuem canto ou descontinuidade de derivada, como f(x)=|x|, não são deriváveis em x=0, então não há segunda derivada global.
  • Há funções suaves até um certo grau, por exemplo f(x)=\sqrt{x} é derivável em x>0 mas sua derivada f'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt{x}} não é derivável em 0.
  • Existem ainda funções contínuas mas não deriváveis em nenhum ponto (por exemplo a função de Weierstrass), mostrando que nem toda função tem derivada sequer de primeira ordem.

Resposta

A segunda derivada de uma função f em x é
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(f'(x)\bigr),
e a terceira derivada é
f'''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(f''(x)\bigr).
Funções polinomiais, exponenciais e trigonométricas são infinitamente diferenciáveis ( C^\infty). Já funções com pontos angulosos (por exemplo f(x)=|x| em x=0) ou singularidades (por exemplo f(x)=\sqrt{x} em x=0) têm número limitado de derivadas.

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