Derivar diretamente, escrevendo as fórmulas de integração correspondentes:
\operatorname{tg} x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de tan x. O conteúdo aqui é integração por substituição, já que tan x pode ser escrita como razão de seno por cosseno.

Passo 2

Escrevemos
integral tan x ,dx = integral sin xcos x,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = cos x, du = -sin x,dx,
ou seja, sin x,dx = -du.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
integral sin xcos x,dx = integral -duu = -integral duu

Passo 5

A integral de 1/u é o logaritmo natural:
-integral duu = -lnl|ur| + C

Passo 6

Voltando a variável original u=cos x, ficamos com
-lnl|cos xr| + C,
que também pode ser escrito como
lnl|sec xr| + C

Resposta

integral tan x ,dx = -lnl|cos xr| + C = lnl|sec xr| + C

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