Derivar as fauções seguintes, estabelecendo as correspondentes fórmulas de integração:
(d) sen x+cos xsen x-cos x.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=sin x+cos xsin x-cos x
e, a partir daí, obter a fórmula de integração correspondente. Vamos usar a regra da cadeia e o fato de que
dfracddxln|u(x)| = dfracu'(x)u(x).

Passo 2

Defina
u(x)=sin x-cos x
Pela regra de derivação de soma e diferença,
u'(x)=cos x+sin x

Passo 3

Repare que
u'(x)u(x) =cos x+sin xsin x-cos x =f(x)
Como
ddxl(ln|u(x)|r) =u'(x)u(x),
segue que
ddxl(ln|sin x-cos x|r) =sin x+cos xsin x-cos x

Passo 4

Invertendo o processo de derivação, obtemos a primitiva de f:
integral sin x+cos xsin x-cos x,dx =lnl|sin x-cos xr|+C

Resposta

ddxl(ln|sin x-cos x|r) =sin x+cos xsin x-cos x,
integral sin x+cos xsin x-cos x,dx =lnl|sin x-cos xr|+C

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