• Dermonstrar que lim [lim (cos pi n!x)^2 m] existe para todos os valores de x, sendo igual a l ou a 0 , conforme x for racional ou irracional.

Passo 1

O enunciado pede para estudar o comportamento da sequência
an,m = l(cos(pi,n!,x)r)^2m
quando primeiro fazemos mtoinfty e depois ntoinfty. O conteúdo principal envolve propriedades de limites de potências e o fato de que cos(theta)^2m tende a 0 se |costheta|<1 e vale 1 se |costheta|=1. Também usaremos a propriedade de que, para x=tfrac p q em forma irredutível, q divide n! assim que n>= q.

Passo 2

Fixo um n. Considere
Ln ;=;limmtoinftyl(cos(pi,n!,x)r)^2m
Se c=cos(pi,n!,x) satisfaz lvert crvert<1, então por regras de limite de potências
c^2mto0(mtoinfty)
Se lvert crvert=1, isto é, c=pm1, então
c^2m=(pm1)^2m=1 para todo m,
logo o limite vale 1. Portanto
Ln = 1, &se cos(pi,n!,x)=pm1, 0, &caso contrário á

Passo 3

Analisemos quando cos(pi,n!,x)=pm1. Isso equivale a
pi,n!,x = kpi Long<=ftrightarrow n!,x = kinZ,
pois cos(kpi)=(-1)^k=pm1. Logo o indicador de Ln=1 é precisamente o indicador de que n!x seja inteiro.

Passo 4

Suponha x racional, escrevendo x=tfrac p q em forma irredutível. Se n>= q, então qmid n!, de modo que
n!x = n!, p q = inteiro,
e portanto cos(pi,n!,x)=pm1 para todo n>= q. Isso implica que
Ln = 1para todo n>= q,
e, consequentemente,
limntoinftyLn = 1

Passo 5

Suponha x irracional. Para todo n, n!x continua irracional, logo nunca é inteiro, e temos sempre lvertcos(pi,n!,x)rvert<1. Assim
Ln =0para todo n,
e portanto
limntoinftyLn = 0

Resposta

O limite iterado
limntoinftyl(limmtoinfty(cos(pi,n!,x))^2mr)
existe e vale
1, &xinQ, 0, &xnotinQ

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