Dermonstrar que existe para todos os valores de , sendo igual a ou a 0 , conforme for racional ou irracional.
Passo 1
O enunciado pede para estudar o comportamento da sequência
quando primeiro fazemos e depois . O conteúdo principal envolve propriedades de limites de potências e o fato de que tende a 0 se e vale 1 se . Também usaremos a propriedade de que, para em forma irredutível, divide assim que .
Passo 2
Fixo um . Considere
Se satisfaz , então por regras de limite de potências
Se , isto é, , então
logo o limite vale 1. Portanto
Passo 3
Analisemos quando cos(pi,n!,x)=pm1. Isso equivale a
pi,n!,x = kpi Long<=ftrightarrow n!,x = kinZ,
pois cos(kpi)=(-1)^k=pm1. Logo o indicador de Ln=1 é precisamente o indicador de que n!x seja inteiro.
Passo 4
Suponha x racional, escrevendo x=tfrac p q em forma irredutível. Se n>= q, então qmid n!, de modo que
n!x = n!, p q = inteiro,
e portanto cos(pi,n!,x)=pm1 para todo n>= q. Isso implica que
Ln = 1para todo n>= q,
e, consequentemente,
limntoinftyLn = 1
Passo 5
Suponha x irracional. Para todo n, n!x continua irracional, logo nunca é inteiro, e temos sempre lvertcos(pi,n!,x)rvert<1. Assim
Ln =0para todo n,
e portanto
limntoinftyLn = 0
Resposta
O limite iterado
limntoinftyl(limmtoinfty(cos(pi,n!,x))^2mr)
existe e vale
1, &xinQ, 0, &xnotinQ
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo Exemplos Diversos.Exemplos Diversos - Ex. 39