Se , determinar uma quantidade tal que, para qualquer valor de menor do que , em valor absoluto, e para qualquer do intervalo , se verifique a desigualdade:

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3^-x^3-x^2+1,
e pede um de<a tal que, para todo xin[-tfrac12,tfrac12] e todo h com lvert hrvert<de<a, valha
gllvert f'(x)-f(x+h)-f(x)hgrrvert<=1100
O conteúdo envolvido é o Teorema de Taylor/Valor Médio para estimar o erro da diferença quase –quociente em relação a f'(x).

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Médio existe xi entre x e x+h tal que
f(x+h)-f(x)h=f'(xi)
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gllvert f'(x)-f(x+h)-f(x)hgrrvert =lvert f'(x)-f'(xi)rvert <=supuin I|f''(u)|;lvert x-xirvert,
onde I contém todos os pontos entre -tfrac12 e tfrac12 e também os deslocados por h. Como vamos escolher de<a<=tfrac12, garantimos Isubseteq[-1,1] e lvert x-xirvert<=|h|.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f:
f'(x)=-3ln(3),x^2,3^-x^3-2x,
f''(x) =-6ln(3),x,3^-x^3 +9l(ln(3)r)^2x^4,3^-x^3 -2

Passo 4

Para xin[-1,1] temos lvert xrvert<=1, x^4<=1 e
,3^-x^3<=max3^-1,3^1=3
Portanto
lvert f''(x)rvert <=6ln(3)cdot1cdot3 +9(ln(3))^2cdot1cdot3 +2 =18ln(3)+27(ln(3))^2+2
Chamemos esse valor de
M=18ln(3)+27l(ln(3)r)^2+2

Passo 5

Do passo 2 temos
llvert f'(x)-tfracf(x+h)-f(x)hrrvert <= M,|h|
Para garantir M,|h|<=tfrac1100 basta tomar
|h|<1100,M
E como também queremos de<a<=tfrac12 para manter o domínio em [-1,1], escolhemos
de<a=minltfrac12,;1100l(18ln(3)+27(ln(3))^2+2r)r

Resposta

de<a =min!ltfrac12,;1100l(18ln(3)+27(ln(3))^2+2r)r

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