Calcular os seguintes limites:
lim x infty(sen xx)^1 / x^2.

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxtoinftyl(sin xxr)^1/x^2,
que é um caso de indeterminação do tipo 0^0. Para resolver, vamos usar o artifício de escrever
a^b = e^bln a,
transformando potência em exponencial e logaritmo.

Passo 2

Definimos
y = l(sin xxr)^1/x^2
Para trabalhar com logaritmo, precisamos de sin x/x>0. Embora sin x oscile, há sequências de x grandes em que sin x>0, e o comportamento assintótico que encontramos vale para qualquer subsequência relevante.

Passo 3

Aplicando logaritmo natural em y, obtemos
ln y = 1x^2,ln!l(sin xxr) = 1x^2l(ln(sin x)-ln xr)

Passo 4

Para xtoinfty, as seguintes estimativas valem:
  1. ln(sin x) é limitado (pois sin x fica em (0,1] nas regiões consideradas), logo
ln(sin x)x^2;longrightarrow;0
  1. O termo
ln xx^2
também tende a 0, pois ln x cresce muito mais devagar que x^2. Assim
ln y ;longrightarrow;0

Passo 5

Voltando à y, temos
y = e^ln y;longrightarrow;e^0 = 1

Resposta

1

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