Esboce o gráfico da função, de modo que seja possível visualizar seus extremos e raízes. Descreva o comportamento da função nos extremos do domínio.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função cúbica
de modo a visualizar suas raízes, seus extremos locais e descrever o comportamento quando
. Para isso, vamos (1) encontrar as raízes, (2) calcular a derivada e achar pontos críticos, (3) classificar esses pontos como máximo ou mínimo e obter seus valores de
, e (4) usar todas essas informações para traçar o esboço e descrever o comportamento nos extremos do domínio.
Passo 2
Para achar as raízes, basta resolver
Logo, as raízes são
Passo 3
Expandindo para derivar com facilidade, temos
Então
Para achar os pontos críticos, resolvemos
cuja solução é
Numericamente,
Passo 4
Para classificar, usamos a segunda derivada
Em
temos
logo é máximo local. Em
logo é mínimo local. Calculando
nesses pontos:
Passo 5
Com raízes em
, máximo local em
e mínimo local em
, o esboço percorre:
– Para ,
.
– Sobe, cruza em (de negativo para positivo), atinge máximo em
.
– Desce, cruza em (de positivo para negativo), continua até o mínimo em
.
– Sobe, cruza em (de negativo para positivo) e segue para
.
– Para
– Sobe, cruza em
– Desce, cruza em
– Sobe, cruza em
Passo 6
Comportamento nos extremos do domínio:
Resposta
As raízes são
. Há um máximo local em
e um mínimo local em
. Para
,
e para
,
. O esboço segue essa sequência de cruzamentos e extremos.