Esboce o gráfico da função, de modo que seja possível visualizar seus extremos e raízes. Descreva o comportamento da função nos extremos do domínio.
f(x)=(x-1)(x+2)(x+3)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função cúbica
f(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 3)
de modo a visualizar suas raízes, seus extremos locais e descrever o comportamento quando x\to\pm\infty. Para isso, vamos (1) encontrar as raízes, (2) calcular a derivada e achar pontos críticos, (3) classificar esses pontos como máximo ou mínimo e obter seus valores de f, e (4) usar todas essas informações para traçar o esboço e descrever o comportamento nos extremos do domínio.

Passo 2

Para achar as raízes, basta resolver
(x - 1)(x + 2)(x + 3)=0.
Logo, as raízes são
x=1,\quad x=-2,\quad x=-3.

Passo 3

Expandindo para derivar com facilidade, temos
f(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6.
Então
f'(x) = 3x^2 + 8x + 1.
Para achar os pontos críticos, resolvemos
3x^2 + 8x + 1 = 0
cuja solução é
x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 12}}{6} = \frac{-8 \pm \sqrt{52}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{13}}{3}.
Numericamente,
x_1 = \frac{-4 - \sqrt{13}}{3} \approx -2{,}535,\quad x_2 = \frac{-4 + \sqrt{13}}{3} \approx -0{,}131.

Passo 4

Para classificar, usamos a segunda derivada
f''(x)=6x+8.
Em x_1\approx -2{,}535 temos
f''(x_1)=6(-2{,}535)+8<0
logo é máximo local. Em x_2\approx -0{,}131
f''(x_2)=6(-0{,}131)+8>0
logo é mínimo local. Calculando f nesses pontos:
f(x_1)\approx 0{,}887, \quad f(x_2)\approx -6{,}064.

Passo 5

Com raízes em -3,-2,1, máximo local em \bigl(-2{,}535,0{,}887\bigr) e mínimo local em \bigl(-0{,}131,-6{,}064\bigr), o esboço percorre:
– Para x\to -\infty, f(x)\to -\infty.
– Sobe, cruza em x=-3 (de negativo para positivo), atinge máximo em -2{,}535.
– Desce, cruza em x=-2 (de positivo para negativo), continua até o mínimo em -0{,}131.
– Sobe, cruza em x=1 (de negativo para positivo) e segue para +\infty.

Passo 6

Comportamento nos extremos do domínio:
\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty.

Resposta

As raízes são x=-3,-2,1. Há um máximo local em \bigl(-2{,}535,0{,}887\bigr) e um mínimo local em \bigl(-0{,}131,-6{,}064\bigr). Para x\to -\infty, f(x)\to -\infty e para x\to +\infty, f(x)\to +\infty. O esboço segue essa sequência de cruzamentos e extremos.

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