Descreva o comportamento da função polinomial nos extremos do domínio usando \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) e \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x).
f(x)=-x^{3}+7 x^{2}-4 x+3

Passo 1

O enunciado pede para descrever o comportamento de
f(x) = -x^{3} + 7x^{2} - 4x + 3
nos extremos do domínio, isto é, calcular
\lim_{x\to+\infty}f(x) e \lim_{x\to-\infty}f(x).
O conteúdo envolvido é limite de polinômio em infinito, usando análise do termo de maior grau (termo dominante).

Passo 2

Identificamos o termo dominante de f: é -x^{3}.
O grau do polinômio é ímpar (3) e o coeficiente líder é -1 (negativo).
Para polinômios de grau ímpar, os extremos do gráfico vão em direções opostas:
se o coeficiente líder é negativo, f(x)\to -\infty quando x\to+\infty e f(x)\to+\infty quando x\to-\infty.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to+\infty}f(x).
Como para x\to+\infty o termo -x^{3} domina, temos
\lim_{x\to+\infty}f(x) = \lim_{x\to+\infty}(-x^{3}+\dots) = -\infty.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to-\infty}f(x).
Para x\to-\infty, ainda domina -x^{3}. Como (-x)^{3}=-\,(\,x^{3}) e x^{3}\to -\infty,
-x^{3}\big|_{x\to-\infty} = -\bigl(-\infty\bigr) = +\infty,
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\lim_{x\to-\infty}f(x) = +\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x) = -\infty
\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x) = +\infty

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