Esboce o gráfico da função, de modo que seja possível visualizar seus extremos e raízes. Descreva o comportamento da função nos extremos do domínio.
f(x)=(2 x+1)(x-4)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x) = (2x+1)\,(x-4)^3
de modo a mostrar suas raízes e extremos, e também descrever o comportamento de f(x) quando x\to\pm\infty.
Conteúdo principal: análise de polinômio (grau 4) por raízes, derivada para monotonicidade e extremos, e fim de domínio (comportamento em infinito).

Passo 2

Achamos primeiro as raízes de f.
Resolvendo
2x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\tfrac12\quad(\text{multiplicidade 1}),
x-4=0\quad\Longrightarrow\quad x=4\quad(\text{multiplicidade 3}).
Logo, o gráfico cruza o eixo x em \bigl(-\tfrac12,0\bigr) de forma transversal e em (4,0) “achatado” (pois multiplicidade ímpar maior que 1).

Passo 3

Calculamos a derivada para encontrar extremos e monotonicidade:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[(2x+1)(x-4)^3\bigr] =2\,(x-4)^3 + (2x+1)\,3\,(x-4)^2.
Fatorando (x-4)^2:
f'(x)=(x-4)^2\bigl[2(x-4)+3(2x+1)\bigr] =(x-4)^2\,(8x-5).
Logo, os pontos críticos são
x=4\quad(\text{multiplicidade 2 em }f'),\qquad x=\frac{5}{8}\quad(\text{multiplicidade 1 em }f').

Passo 4

Classificamos cada ponto crítico pelo sinal de f':
— Como (x-4)^2\ge0 para todo x, o sinal de f' vem de 8x-5.
Para x<5/8, 8x-5<0 \Rightarrow f'\!<0 (decrescente).
Para x>5/8, 8x-5>0 \Rightarrow f'\!>0 (crescente).
Portanto x=5/8 é um mínimo local.
Calculamos
f\bigl(\tfrac58\bigr)=(2\cdot\tfrac58+1)\bigl(\tfrac58-4\bigr)^3 = \bigl(\tfrac{5}{4}+1\bigr)\,(-\tfrac{27}{8})^1 = \tfrac{9}{4}\cdot(-\tfrac{27}{8}) = -\tfrac{243}{32}\approx -7{,}59.
Em x=4 temos f'(4)=0 mas sem troca de sinal ( f' permanece >0), logo é ponto de inflexão horizontal em (4,0).

Passo 5

Analisamos o comportamento para x\to\pm\infty.
Expandindo o termo dominante, (2x+1)(x-4)^3\sim 2x\cdot x^3=2x^4.
Como o coeficiente de x^4 é positivo e o grau é par,
\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico (sem escala exata):
— Para x\ll -1/2, f>0 e decrescente até cruzar em -\tfrac12.
— Entre -\tfrac12 e x=\tfrac58, f<0 e decrescente até o mínimo em \bigl(\tfrac58,-\tfrac{243}{32}\bigr).
— Para x>\tfrac58, f cresce, cruza o eixo em (4,0) com inflexão horizontal e continua subindo para +\infty.

Resposta

  • Raízes: x=-\tfrac12 (simples) e x=4 (multiplicidade 3).
  • Mínimo local em \bigl(\tfrac58,\,-\tfrac{243}{32}\bigr).
  • Ponto de inflexão horizontal em (4,0).
  • Fim de domínio: f(x)\to+\infty tanto para x\to-\infty quanto para x\to+\infty.

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