Esboce o gráfico da função, de modo que seja possível visualizar seus extremos e raízes. Descreva o comportamento da função nos extremos do domínio.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
de modo a mostrar suas raízes e extremos, e também descrever o comportamento de
quando
.
Conteúdo principal: análise de polinômio (grau 4) por raízes, derivada para monotonicidade e extremos, e fim de domínio (comportamento em infinito).
Conteúdo principal: análise de polinômio (grau 4) por raízes, derivada para monotonicidade e extremos, e fim de domínio (comportamento em infinito).
Passo 2
Achamos primeiro as raízes de
.
Resolvendo
Resolvendo
Logo, o gráfico cruza o eixo
em
de forma transversal e em
“achatado” (pois multiplicidade ímpar maior que 1).
Passo 3
Calculamos a derivada para encontrar extremos e monotonicidade:
Fatorando
:
Logo, os pontos críticos são
Passo 4
Classificamos cada ponto crítico pelo sinal de
:
— Como para todo
, o sinal de
vem de
.
Para ,
(decrescente).
Para ,
(crescente).
Portanto é um mínimo local.
Calculamos
— Como
Para
Para
Portanto
Calculamos
Em
temos
mas sem troca de sinal (
permanece
), logo é ponto de inflexão horizontal em
.
Passo 5
Analisamos o comportamento para
.
Expandindo o termo dominante, .
Como o coeficiente de é positivo e o grau é par,
Expandindo o termo dominante,
Como o coeficiente de
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico (sem escala exata):
— Para ,
e decrescente até cruzar em
.
— Entre e
,
e decrescente até o mínimo em
.
— Para ,
cresce, cruza o eixo em
com inflexão horizontal e continua subindo para
.
— Para
— Entre
— Para
Resposta
- Raízes:
(simples) e (multiplicidade 3). - Mínimo local em
. - Ponto de inflexão horizontal em
. - Fim de domínio:
tanto para quanto para .