Esboce o gráfico da função polinomial e localize seus extremos locais e raízes.
g(x)=2 x^{4}-5 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função polinomial g(x)=2x^4-5x^2 e a localização de seus extremos locais e raízes. Como se trata de um polinômio de grau quatro e par, vamos primeiro determinar as raízes de g, depois calcular a derivada para encontrar os pontos críticos, em seguida usar a segunda derivada para classificar esses pontos e, por fim, descrever o esboço do gráfico.

Passo 2

Determinar as raízes de g resolvendo
2x^4 - 5x^2 = 0.
Fatora-se x^2(2x^2 - 5)=0, logo as soluções são
x = 0\quad(\text{multiplicidade 2}) \quad\text{e}\quad 2x^2 - 5 = 0\;\Rightarrow\; x = \pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}.

Passo 3

Calcular a derivada de g:
g'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(2x^4\bigr) \;-\;\frac{d}{dx}\bigl(5x^2\bigr) = 8x^3 - 10x = 2x\,(4x^2 - 5).
Os pontos críticos vêm de g'(x)=0, isto é
x = 0 \quad\text{e}\quad 4x^2 - 5 = 0 \;\Rightarrow\; x = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}.

Passo 4

Classificar cada ponto crítico usando a segunda derivada:
g''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(8x^3 - 10x\bigr) = 24x^2 - 10.
Em x=0 tem-se g''(0) = -10 < 0, indicando um máximo local em (0,g(0))=(0,0).
Em x=\pm\frac{\sqrt{5}}{2} tem-se
g''\!\bigl(\pm\tfrac{\sqrt{5}}{2}\bigr) = 24\Bigl(\tfrac{5}{4}\Bigr) - 10 = 20 > 0,
indicando mínimos locais. O valor dos mínimos é
g\!\bigl(\pm\tfrac{\sqrt{5}}{2}\bigr) = 2\Bigl(\tfrac{5}{4}\Bigr)^2 - 5\Bigl(\tfrac{5}{4}\Bigr) = -\frac{25}{8}.

Passo 5

Esboço do gráfico:
– A função é par, logo simétrica em relação ao eixo y.
– Para x\to\pm\infty, g(x)\to+\infty.
– Em (0,0) há uma tangência com o eixo x e um máximo local.
– A curva desce até os mínimos em \bigl(\pm\sqrt{5}/2,\,-25/8\bigr), depois sobe, cruza o eixo x em \bigl(\pm\sqrt{5/2},0\bigr) atravessando-o e cresce indefinidamente.

Resposta

Raízes de g: x=0 (multiplicidade 2) e x=\pm\sqrt{5/2}.
Máximo local em (0,0).
Mínimos locais em \bigl(\pm\sqrt{5}/2,-25/8\bigr).

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