Esboce o gráfico da função polinomial e localize seus extremos locais e raízes.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função polinomial
e a localização de seus extremos locais e raízes. Como se trata de um polinômio de grau quatro e par, vamos primeiro determinar as raízes de
, depois calcular a derivada para encontrar os pontos críticos, em seguida usar a segunda derivada para classificar esses pontos e, por fim, descrever o esboço do gráfico.
Passo 2
Determinar as raízes de
resolvendo
Fatora-se
, logo as soluções são
Passo 3
Calcular a derivada de
:
Os pontos críticos vêm de
, isto é
Passo 4
Classificar cada ponto crítico usando a segunda derivada:
Em
tem-se
, indicando um máximo local em
.
Em tem-se
Em
indicando mínimos locais. O valor dos mínimos é
Passo 5
Esboço do gráfico:
– A função é par, logo simétrica em relação ao eixo .
– Para ,
.
– Em há uma tangência com o eixo
e um máximo local.
– A curva desce até os mínimos em , depois sobe, cruza o eixo
em
atravessando-o e cresce indefinidamente.
– A função é par, logo simétrica em relação ao eixo
– Para
– Em
– A curva desce até os mínimos em
Resposta
Raízes de
:
(multiplicidade 2) e
.
Máximo local em .
Mínimos locais em .
Máximo local em
Mínimos locais em