Esboce o gráfico da função, de modo que seja possível visualizar seus extremos e raízes. Descreva o comportamento da função nos extremos do domínio.
f(x)=-x^{3}+4 x^{2}+31 x-70

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x) = -x^{3} + 4x^{2} + 31x - 70
de modo a visualizar suas raízes e seus extremos locais, além de descrever o comportamento de f(x) quando x\to-\infty e x\to+\infty. Para isso precisamos encontrar ( 1) as raízes de f, ( 2) os pontos críticos resolvendo f'(x)=0, ( 3) classificar cada ponto crítico como máximo ou mínimo, e ( 4) verificar o comportamento nos extremos do domínio.

Passo 2

Calcular as raízes de f. Primeiro escrevemos
0 = -x^{3} + 4x^{2} + 31x - 70 \quad\Longleftrightarrow\quad 0 = x^{3} - 4x^{2} - 31x + 70.
Testando candidatos inteiros, x=2 satisfaz
2^{3} - 4\cdot2^{2} -31\cdot2 +70 = 8 -16 -62 +70 = 0.
Fazendo a divisão sintética de x^{3}-4x^{2}-31x+70 por (x-2) obtemos
x^{3}-4x^{2}-31x+70 = (x-2)(x^{2}-2x-35) = (x-2)(x-7)(x+5).
Logo as raízes são
x=-5,\quad x=2,\quad x=7.

Passo 3

Determinar os pontos críticos pela derivada
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}+4x^{2}+31x-70\bigr) = -3x^{2} + 8x + 31.
Resolvendo f'(x)=0 temos
-3x^{2} + 8x + 31 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x^{2} - 8x - 31 = 0
x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^{2} - 4\cdot3\cdot(-31)}}{2\cdot3} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 372}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{109}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{109}}{3}.
Numericamente,
x_{1}\approx -2{,}147, \quad x_{2}\approx 4{,}813.

Passo 4

Classificar cada ponto crítico usando a segunda derivada
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2}+8x+31\bigr) = -6x + 8.
Para x_{1}\approx -2{,}147,
f''(x_{1}) = -6(-2{,}147) +8 >0 \quad\Longrightarrow\quad \text{mínimo local}.í
Para x_{2}\approx 4{,}813,
f''(x_{2}) = -6(4{,}813) +8 <0 \quad\Longrightarrow\quad \text{máximo local}.á
Calculando f nesses pontos:
f(-2{,}147)\approx -108{,}21, \quad f(4{,}813)\approx 60{,}28.
Portanto há mínimo local em \bigl(-2{,}147,\,-108{,}21\bigr) e máximo local em \bigl(4{,}813,\,60{,}28\bigr).

Passo 5

Esboço qualitativo e comportamento nos extremos:
Como o termo líder é -x^{3}, temos
\bullet Quando x\to -\infty, f(x)\sim -(\text{negativo})^{3}=+\infty.
\bullet Quando x\to +\infty, f(x)\sim -x^{3}\to -\infty.
Na ordem dos pontos sobre o eixo x:
1. Para x\to -\infty: f(x)\to +\infty.
2. Cruzamos a raiz x=-5 e f fica negativa até o mínimo em x\approx -2{,}147.
3. De x\approx -2{,}147 até o máximo em x\approx4{,}813, f sobe, atravessando as raízes x=2 e x=7.
4. Após x\approx4{,}813, f decresce até -\infty conforme x\to+\infty.

Resposta

Raízes: x=-5, x=2, x=7.
Mínimo local em \bigl(-2{,}147,\,-108{,}21\bigr).
Máximo local em \bigl(4{,}813,\,60{,}28\bigr).
Comportamento nos extremos:
x\to -\infty\implies f(x)\to +\infty, \quad x\to +\infty\implies f(x)\to -\infty.

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