Esboce o gráfico da função, de modo que seja possível visualizar seus extremos e raízes. Descreva o comportamento da função nos extremos do domínio.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
de modo a visualizar suas raízes e seus extremos locais, além de descrever o comportamento de
quando
e
. Para isso precisamos encontrar (
) as raízes de
, (
) os pontos críticos resolvendo
, (
) classificar cada ponto crítico como máximo ou mínimo, e (
) verificar o comportamento nos extremos do domínio.
Passo 2
Calcular as raízes de
. Primeiro escrevemos
Testando candidatos inteiros,
satisfaz
Fazendo a divisão sintética de
por
obtemos
Logo as raízes são
Passo 3
Determinar os pontos críticos pela derivada
Resolvendo
temos
Numericamente,
Passo 4
Classificar cada ponto crítico usando a segunda derivada
Para
,
Para
,
Calculando
nesses pontos:
Portanto há mínimo local em
e máximo local em
.
Passo 5
Esboço qualitativo e comportamento nos extremos:
Como o termo líder é
, temos
Na ordem dos pontos sobre o eixo
:
Resposta
Raízes:
,
,
.
Mínimo local em .
Máximo local em .
Comportamento nos extremos:
Mínimo local em
Máximo local em
Comportamento nos extremos: