Descreva as superfícies de nível, mas não faça os gráficos.
F(x, y, z)=x^2+3 y^2+6 z^2

Passo 1

O enunciado pede para descrever as superfícies de nível da função
F(x,y,z) = x^2 + 3y^2 + 6z^2
Superfícies de nível são os conjuntos
(x,y,z)inR^3 mid F(x,y,z)=k
para cada valor constante k. Para fazer isso, vamos reconhecer que F é uma forma quadrática definida positiva e ver como isso se traduz em geometrias em R^3.

Passo 2

Escrevemos a equação geral da superfície de nível de valor k:
x^2 + 3y^2 + 6z^2 = k
Como todos os coeficientes de x^2, y^2 e z^2 são positivos, a forma quadrática é definida positiva, portanto o tipo de superfície vai depender unicamente do sinal de k.

Passo 3

Analisando os casos de k:
  • Se k<0, não existe (x,y,z) real que satisfaça a equação, então a superfície de nível é o conjunto vazio.
  • Se k=0, a única solução é x=y=z=0, ou seja, a “superfície” degenera no ponto origem.
  • Se k>0, a equação define um elipsoide centrado na origem.

Passo 4

Para k>0 podemos pôr a equação na forma padrão de elipsoide, dividindo tudo por k:
x^2k + y^2k/3 + z^2k/6 = 1
Dessa forma, os semieixos desse elipsoide medem
ax = raizk, ay = raizk3, az = raizk6

Resposta

Para cada parâmetro k:
Para k<0: superfície de nível vazia.
Para k=0: ponto único (0,0,0).
Para k>0: elipsoide centrado na origem com semieixos
raizk ao longo de x,
raizk/3 ao longo de y e
raizk/6 ao longo de z.

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