Descreva as superfícies de nível, mas não faça os gráficos.
Passo 1
O enunciado pede para descrever as superfícies de nível da função
Superfícies de nível são os conjuntos
para cada valor constante
. Para fazer isso, vamos reconhecer que
é uma forma quadrática definida positiva e ver como isso se traduz em geometrias em
.
Passo 2
Escrevemos a equação geral da superfície de nível de valor
:
Como todos os coeficientes de
,
e
são positivos, a forma quadrática é definida positiva, portanto o tipo de superfície vai depender unicamente do sinal de
.
Passo 3
Analisando os casos de
:
- Se
, não existe real que satisfaça a equação, então a superfície de nível é o conjunto vazio. - Se
, a única solução é , ou seja, a “superfície” degenera no ponto origem. - Se
, a equação define um elipsoide centrado na origem.
Passo 4
Para
podemos pôr a equação na forma padrão de elipsoide, dividindo tudo por
:
Dessa forma, os semieixos desse elipsoide medem
Resposta
Para cada parâmetro
:
Para
: superfície de nível vazia.
Para : ponto único
.
Para : elipsoide centrado na origem com semieixos
ao longo de
,
ao longo de
e
ao longo de
.
Para
Para