Descrever os seguintes lugares geométricos:
constante,
constante, sendo cilindricas as coordenadas;
constante,
constante, sendo esféricas as coordenadas.
Passo 1
O enunciado pede para descrever os lugares geométricos definidos por
e
em coordenadas cilíndricas
e por
e
em coordenadas esféricas
.
Vamos usar a relação dessas coordenadas com as coordenadas cartesianas para interpretar cada superfície.
e por
Vamos usar a relação dessas coordenadas com as coordenadas cartesianas para interpretar cada superfície.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos as transformações
Aqui
é a distância do eixo
,
é o ângulo no plano
e
é a altura usual.
Passo 3
Para
fixo, da definição
vem
ou seja,
Essa é a equação de um cilindro circular reto de raio
, com eixo paralelo ao eixo
.
Passo 4
Para
fixo, da definição
obtemos
que é a equação de um plano que contém o eixo
e forma ângulo
com o semi-eixo positivo
. Em outras palavras, é uma “fatia” ou semiplano vertical de borda no eixo
.
Passo 5
Em coordenadas esféricas usamos
onde
é a distância à origem,
é o ângulo medido a partir do eixo
(0 em
,
em
) e
é o mesmo ângulo azimutal do caso cilíndrico.
Passo 6
Para
fixo temos
isto é,
que descreve uma esfera de raio
centrada na origem.
Passo 7
Para
fixo, da relação
segue
ou seja
Essa é a equação de uma superfície cônica (duplo cone), cujo eixo é o eixo
e cujo semiângulo entre geratriz e eixo é
.