Descrever os seguintes lugares geométricos: r= constante, theta= constante, sendo cilindricas as coordenadas; rho= constante, phi= constante, sendo esféricas as coordenadas.

Passo 1

O enunciado pede para descrever os lugares geométricos definidos por
;r=r0 e ;theta=theta0 em coordenadas cilíndricas (r,theta,z)
e por
;rho=rho0 e ;phi=phi0 em coordenadas esféricas (rho,phi,theta).
Vamos usar a relação dessas coordenadas com as coordenadas cartesianas para interpretar cada superfície.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos as transformações
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
Aqui r>=0 é a distância do eixo z, theta é o ângulo no plano xy e z é a altura usual.

Passo 3

Para r=r0 fixo, da definição r=raizx^2+y^2 vem
raizx^2+y^2=r0,
ou seja,
x^2+y^2 = r0^2
Essa é a equação de um cilindro circular reto de raio r0, com eixo paralelo ao eixo z.

Passo 4

Para theta=theta0 fixo, da definição tantheta = y/x obtemos
yx = tantheta0,
que é a equação de um plano que contém o eixo z e forma ângulo theta0 com o semi-eixo positivo x. Em outras palavras, é uma “fatia” ou semiplano vertical de borda no eixo z.

Passo 5

Em coordenadas esféricas usamos
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi,
onde rho>=0 é a distância à origem, phi é o ângulo medido a partir do eixo z (0 em +z, pi em -z) e theta é o mesmo ângulo azimutal do caso cilíndrico.

Passo 6

Para rho=rho0 fixo temos
rho = raizx^2+y^2+z^2 = rho0,
isto é,
x^2+y^2+z^2 = rho0^2,
que descreve uma esfera de raio rho0 centrada na origem.

Passo 7

Para phi=phi0 fixo, da relação cosphi = z/rho segue
zraizx^2+y^2+z^2 = cosphi0,
ou seja
z = raizx^2+y^2+z^2,cosphi0
Essa é a equação de uma superfície cônica (duplo cone), cujo eixo é o eixo z e cujo semiângulo entre geratriz e eixo é phi0.

Resposta

r=r0: cilindro circular reto de raio r0 com eixo paralelo a z.
theta=theta0: plano que contém o eixo z e faz ângulo theta0 com o eixo x.
rho=rho0: esfera de raio rho0 centrada na origem.
phi=phi0: superfície cônica de eixo z e semiângulo phi0.

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