Desenbar a curva
x=integral0^l cos uraizu d u, y=integral0^l sen uraizu d u0
determinando seu raio de curvatura.

Passo 1

O enunciado define uma curva parametrizada por l cujas coordenadas são
x(l)=integral0^lcos uraizu,du, y(l)=integral0^lsin uraizu,du
Queremos determinar o raio de curvatura R(l) dessa curva. Vamos usar a fórmula clássica de curvatura para curvas planas em parametrização natural por parâmetro genérico.

Passo 2

Calculamos as derivadas primeiras em relação a l. Por Teorema Fundamental do Cálculo,
x'(l)=cos lraizl, y'(l)=sin lraizl

Passo 3

Agora as derivadas segundas:
x''(l) =ddll(cos lraizlr) =-sin lraizl -12,cos ll^3/2,
y''(l) =ddll(sin lraizlr) =cos lraizl -12,sin ll^3/2

Passo 4

A curvatura kappa(l) de uma curva parametrizada é dada por
kappa(l) =l|x'(l),y''(l)-y'(l),x''(l)r| l[x'(l)^2+y'(l)^2r]^3/2
O raio de curvatura é R(l)=1/kappa(l).

Passo 5

Primeiro o numerador:
x'y''-y'x'' =cos lraizll(cos lraizl-sin l2,l^3/2r) -sin lraizll(-sin lraizl-cos l2,l^3/2r) =1l
O denominador é
x'^2+y'^2 =cos^2l+sin^2ll =1l, l(x'^2+y'^2r)^3/2 =1l^3/2
Logo
kappa(l) =1/l1/l^3/2 =raizl,
e por conseguinte
R(l)=1kappa(l) =1raizl

Resposta

O raio de curvatura da curva é
R(l)=1raizl

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