Determinar o momento de inércia de um arco da catenária y=Ch x
em tôrno do cixo dos y.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um fio em forma de arco da catenária
y=cosh x
em torno do eixo dos y.
Conteúdo: momento de inércia de um corpo filiforme.
Precisamos usar a fórmula
Iy ;=;integral r^2,dm
em que, para um fio de densidade linear rho e elemento de comprimento ds, dm=rho,ds, e aqui r=x é a distância ao eixo y.

Passo 2

Parametrizamos o fio por xin[x1,x2].
Como
y=cosh xLongrightarrow y'=sinh x,
temos
ds=raiz1+(y')^2,dx =raiz1+sinh^2 x,dx =cosh x,dx
Logo
dm=rho,cosh x,dx,
e o raio até o eixo y é r=x.

Passo 3

O momento de inércia em torno de y fica
Iy =integralx1^x2x^2,dm =rhointegralx1^x2x^2cosh x,dx

Passo 4

Calculamos a primitiva de x^2cosh x por partes.
Escolhendo u=x^2, dv=cosh x,dx v=sinh x, du=2x,dx.
integral x^2cosh x,dx =x^2sinh x-integral2xsinh x,dx
De novo por partes em integral2xsinh x,dx, com u=2x, dv=sinh x,dx, vem
integral2xsinh x,dx =2xcosh x-integral2cosh x,dx =2xcosh x-2sinh x
Substituindo de volta,
integral x^2cosh x,dx =x^2sinh x-l(2xcosh x-2sinh xr)+C =x^2sinh x-2xcosh x+2sinh x+C

Passo 5

Portanto
Iy =rhol[x^2sinh x-2xcosh x+2sinh xr]x1^x2
Em particular, se o arco for simétrico de -a a a, então por paridade de x^2cosh x,
Iy =2rhol[a^2sinh a-2acosh a+2sinh ar]

Resposta

Iy =rhol[x^2sinh x-2xcosh x+2sinh xr]x1^x2,
e, para o arco -a<= x<= a,
Iy =2rhol(a^2sinh a-2acosh a+2sinh ar)

Exercícios de Livros Relacionados