Determinar o momento de inércia de um arco da catenária
em tôrno do cixo dos
.
em tôrno do cixo dos
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de um fio em forma de arco da catenária
em torno do eixo dos .
Conteúdo: momento de inércia de um corpo filiforme.
Precisamos usar a fórmula
em torno do eixo dos
Conteúdo: momento de inércia de um corpo filiforme.
Precisamos usar a fórmula
em que, para um fio de densidade linear
e elemento de comprimento
,
, e aqui
é a distância ao eixo
.
Passo 2
Parametrizamos o fio por
.
Como
Como
temos
Logo
e o raio até o eixo
é
.
Passo 3
O momento de inércia em torno de
fica
Passo 4
Calculamos a primitiva de
por partes.
Escolhendo ,
dá
,
.
Escolhendo
De novo por partes em
, com
,
, vem
Substituindo de volta,
Passo 5
Portanto
Em particular, se o arco for simétrico de
a
, então por paridade de
,
Resposta
e, para o arco
,