Determinar os quatro primeiros têrmos que não se anulam das séries de Taylor das seguintes funções, na vizinlança de x=0 :
sec x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série de Taylor de sec x em torno de x=0. O conteúdo é séries de potências e expansão de funções usando o desenvolvimento de Taylor.

Passo 2

Começamos lembrando a expansão de cos x em torno de 0:
cos x = 1 - x^22! + x^44! - x^66! + cdots = 1 - x^22 + x^424 - x^6720 + cdots

Passo 3

Como sec x = 1cos x, buscamos uma série
sec x = a0 + a2 x^2 + a4 x^4 + a6 x^6 + cdots
de modo que
l(1 - tfracx^22 + tfracx^424 - tfracx^6720 + cdotsr) l(a0 + a2 x^2 + a4 x^4 + a6 x^6 + cdotsr) =1
Depois, igualamos coeficientes de potências de x a zero, exceto o termo constante que deve ser 1.

Passo 4

Coeficiente de x^0:
a0 = 1
Coeficiente de x^2:
a2 - a02 = 0 Longrightarrow a2 = 12

Passo 5

Coeficiente de x^4:
a4 - a22 + a024 = 0 Longrightarrow a4 = a22 - 124 = 1/22 - 124 = 14 - 124 = 524
Coeficiente de x^6:
a6 - a42 + a224 - a0720 = 0 Longrightarrow a6 = a42 - a224 + 1720 = 5/242 - 1/224 + 1720 = 548 - 148 + 1720 = 61720

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos da série de Taylor de sec x em x=0 são
sec x = 1 + x^22 + 5,x^424 + 61,x^6720 + cdots

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