Desenhar os gráficos seruintes, escrevendo, também, as equaçũes em coordenadas cartesianas:
r=3 a sen theta cos thetasen^3 theta+cos ^3 theta (Fólio de Descartes).

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 3asintheta,costhetasin^3theta + cos^3theta
e pede (i) a equação em coordenadas Cartesianas e (ii) o desenho do gráfico.
Para isso, usaremos as relações
x = rcostheta, y = rsintheta, sintheta = yr, costheta = xr

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por sin^3theta + cos^3theta:
rl(sin^3theta + cos^3thetar) = 3a,sinthetacostheta
Substituindo sintheta = y/r e costheta = x/r vem
rl(tfracy^3r^3 + tfracx^3r^3r) =3a;xyr^2 ;Longrightarrow; x^3 + y^3r^2 = 3a,xyr^2
Multiplicando por r^2 obtém-se
x^3 + y^3 = 3a,x,y

Passo 3

A equação
x^3 + y^3 = 3a,x,y
é justamente o folium de Descartes. Essa curva tem:
– um laço no primeiro quadrante passando pela origem e atingindo ponto de máximo em l(tfrac3a2,tfrac3a2r);
– dois ramos abertos nos quadrantes II e IV.

Passo 4

Para achar a assíntota, supomos que, para |x|,|y|toinfty, teremos y=-x+d. Substituindo em
x^3 + y^3 - 3a,xy = 0
e igualando os termos de ordem x^2 aparece d=-a. Portanto, a reta assimptótica é
y = -x - a

Passo 5

O traçado completo da curva mostra um folium com:
– Laço fechado no primeiro quadrante de theta=0 a theta=pi/2.
– Dois ramos nos quadrantes II e IV que se aproximam de y=-x-a.

Resposta

A curva polar
r = 3asintheta,costhetasin^3theta + cos^3theta
corresponde ao folium de Descartes de equação cartesiana
x^3 + y^3 = 3a,x,y
com assíntota
y = -x - a,
apresentando um laço no primeiro quadrante e dois ramos infinitos.

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