Determinar os quatro primeiros têrmos que não se anulam das séries de Taylor das seguintes funções, na vizinlança de x=0 :
e^e x.

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos não nulos da série de Taylor (Maclaurin) de exp(e x) em torno de x=0. Para isso, vamos usar a expansão em série de potências da função exponencial.

Passo 2

Sabemos que, para qualquer u,
exp(u);=;sumn=0^inftyu^nn!
Aqui basta tomar u = e,x.

Passo 3

Substituindo u=e,x na série acima, obtemos
exp(e,x) =sumn=0^infty(e,x)^nn! =sumn=0^inftye^nn!,x^n
Ou seja, o coeficiente do termo x^n é e^nn!.

Passo 4

Os quatro primeiros termos não nulos correspondem a n=0,1,2,3. Calculando:
  • n=0: e^00!x^0 = 1.
  • n=1: e^11!x^1 = e,x.
  • n=2: e^22!x^2 = e^22,x^2.
  • n=3: e^33!x^3 = e^36,x^3.

Resposta

exp(e,x) = 1 + e,x + e^22,x^2 + e^36,x^3 + cdots

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