Derivar as funções seguintes:
(x+2)^4(1-x^2)^1 / 3(x^2+1)^5 / 4.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = (x+2)^4,(1 - x^2)^tfrac13,(x^2+1)^tfrac54
O conteúdo aqui envolve regra do produto e regra da cadeia. Uma forma mais direta é usar derivação logarítmica, transformando o produto em soma de logaritmos para facilitar.

Passo 2

Aplicamos logaritmo em ambos os lados e derivamos:
ln f(x) = 4ln(x+2) + tfrac13ln(1 - x^2) + tfrac54ln(x^2+1)
Derivando em x, usando l(ln g(x)r)' = g'(x)/g(x), obtemos
f'(x)f(x) = 4cdot1x+2 + tfrac13cdotddxl[ln(1 - x^2)r] + tfrac54cdotddxl[ln(x^2+1)r]

Passo 3

Calculamos as derivadas dos logaritmos:
ddxl[ln(1 - x^2)r] = -2x1 - x^2, ddxl[ln(x^2+1)r] = 2xx^2+1
Substituindo em tfracf'f:
f'(x)f(x) = 4x+2 + tfrac13cdot-2x1 - x^2 + tfrac54cdot2xx^2+1 = 4x+2 - 2x3(1 - x^2) + 5x2(x^2+1)

Passo 4

Finalmente, voltamos a f'(x) = f(x)cdotf'(x)f(x). Logo
f'(x) = (x+2)^4,(1 - x^2)^tfrac13,(x^2+1)^tfrac54 l( 4x+2 - 2x3(1 - x^2) + 5x2(x^2+1) r)

Resposta

f'(x) = (x+2)^4,(1 - x^2)^tfrac13,(x^2+1)^tfrac54 l( 4x+2 - 2x3(1 - x^2) + 5x2(x^2+1) r)

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