Desenhe a curva da função dada.
f(x)=x^{5}-5 x^{4}+93

Passo 1

O enunciado pede para esboçar (desenhar o gráfico de) f(x)=x^{5}-5x^{4}+93. Vamos estudar domínio, interceptos, comportamento nas extremidades, derivadas para achar extremos e pontos de inflexão, e concavidade. Com isso conseguimos desenhar a curva.

Passo 2

Domínio e interceptos:
  • Domínio: todos os reais, pois é polinômio.
  • Intercepto com o eixo y: em x=0,
f(0)=0^{5}-5\cdot0^{4}+93=93.
Logo o ponto (0,93) é o intercepto em y.
  • Não há zeros explícitos fáceis de fatorar, mas para o esboço não precisamos deles.

Passo 3

Comportamento em \pm\infty:
  • Para x\to -\infty, o termo dominante é x^5 (ímpar) e x^5\to -\infty, logo f(x)\to -\infty.
  • Para x\to +\infty, x^5\to +\infty, então f(x)\to +\infty.

Passo 4

Primeira derivada para extremos:
f'(x)=5x^{4}-20x^{3}=5x^{3}(x-4).
As soluções de f'(x)=0 são x=0 (multiplicidade 3) e x=4.

Passo 5

Classificação de extremos:
  • Para x<0: x^{3}<0 e (x-4)<0 \Rightarrow f'(x)>0.
  • Para 0<x<4: x^{3}>0 e (x-4)<0 \Rightarrow f'(x)<0.
  • Para x>4: x^{3}>0 e (x-4)>0 \Rightarrow f'(x)>0.
    Logo:
  • Em x=0 a derivada muda de positiva para negativa \Rightarrow máximo local em (0,93).
  • Em x=4 muda de negativa para positiva \Rightarrow mínimo local.
    Calculamos f(4):
f(4)=4^{5}-5\cdot4^{4}+93 =1024-5\cdot256+93 =1024-1280+93=-163.
Mínimo local em (4,-163).

Passo 6

Segunda derivada e concavidade:
f''(x)=20x^{3}-60x^{2}=20x^{2}(x-3).
Zeros de f'' em x=0 (mult., 2) e x=3.
  • Para x<3: x^{2}>0 e (x-3)<0 \Rightarrow f''(x)<0 (côncavo para baixo).
  • Para x>3: x^{2}>0 e (x-3)>0 \Rightarrow f''(x)>0 (côncavo para cima).
    Logo há Ponto de Inflexão em x=3. O valor é
f(3)=3^{5}-5\cdot3^{4}+93 =243-5\cdot81+93 =243-405+93=-69.
Inflexão em (3,-69).

Passo 7

Esboço final da curva:
1. Sai de -\infty para +\infty.
2. Cresce (côncavo para baixo) até o máximo em (0,93).
3. Desce (côncavo para baixo) até o ponto de inflexão em (3,-69).
4. Continua descendo (côncavo para cima após x=3) até o mínimo em (4,-163).
5. A partir de x=4 sobe (côncavo para cima) até +\infty.

Resposta

O esboço da curva de f(x)=x^{5}-5x^{4}+93 deve mostrar:
  • Máximo local em (0,93),
  • Inflexão em (3,-69),
  • Mínimo local em (4,-163),
  • Comportamento f(x)\to -\infty quando x\to -\infty e f(x)\to +\infty quando x\to +\infty.

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