Desenhe a curva da função dada.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar (desenhar o gráfico de)
. Vamos estudar domínio, interceptos, comportamento nas extremidades, derivadas para achar extremos e pontos de inflexão, e concavidade. Com isso conseguimos desenhar a curva.
Passo 2
Domínio e interceptos:
- Domínio: todos os reais, pois é polinômio.
- Intercepto com o eixo
: em ,
Logo o ponto
é o intercepto em
.
- Não há zeros explícitos fáceis de fatorar, mas para o esboço não precisamos deles.
Passo 3
Comportamento em
:
- Para
, o termo dominante é (ímpar) e , logo . - Para
, , então .
Passo 4
Primeira derivada para extremos:
As soluções de
são
(multiplicidade
) e
.
Passo 5
Classificação de extremos:
- Para
: e . - Para
: e . - Para
: e .
Logo: - Em
a derivada muda de positiva para negativa máximo local em . - Em
muda de negativa para positiva mínimo local.
Calculamos:
Mínimo local em
.
Passo 6
Segunda derivada e concavidade:
Zeros de
em
(mult.,
) e
.
- Para
: e (côncavo para baixo). - Para
: e (côncavo para cima).
Logo há Ponto de Inflexão em. O valor é
Inflexão em
.
Passo 7
Esboço final da curva:
. Sai de
para
.
. Cresce (côncavo para baixo) até o máximo em
.
. Desce (côncavo para baixo) até o ponto de inflexão em
.
. Continua descendo (côncavo para cima após
) até o mínimo em
.
. A partir de
sobe (côncavo para cima) até
.
Resposta
O esboço da curva de
deve mostrar:
- Máximo local em
, - Inflexão em
, - Mínimo local em
, - Comportamento
quando e quando .