Desenhe a curva da função dada.
f(x)=x^{4}+4 x^{3}+4 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de f(x)=x^4+4x^3+4x^2. Para isso, faremos análise qualitativa da função usando fatoração para achar zeros, derivadas para monotonia e extremos, segunda derivada para concavidade e inflexão, e finalmente o comportamento em x\to\pm\infty.

Passo 2

Fatorando f(x):
f(x)=x^2\,(x^2+4x+4)=x^2\,(x+2)^2.
Logo, f(x)=0 em x=0 e x=-2, cada uma com multiplicidade 2, ou seja, a curva toca o eixo x nesses pontos sem mudar de sinal.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[x^2(x+2)^2\bigr] =4x\,(x+1)\,(x+2).
Os pontos críticos são as raízes de f':
x=-2,\quad x=-1,\quad x=0.
Analisando o sinal de f':
  • Em (-\infty,-2): f'<0 (decrescente).
  • Em (-2,-1): f'>0 (crescente).
  • Em (-1,0): f'<0 (decrescente).
  • Em (0,\infty): f'>0 (crescente).

Passo 4

Avaliação nos pontos críticos para classificar extremos:
f(-2)=0,\quad f(-1)=1,\quad f(0)=0.
Portanto:
  • Mínimos locais em (-2,0) e (0,0).
  • Máximo local em (-1,1).

Passo 5

Segunda derivada e pontos de inflexão:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl[4x(x+1)(x+2)\bigr] =12x^2+24x+8 =4\,(3x^2+6x+2).
Resolvendo 3x^2+6x+2=0 obtemos
x=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{3}\approx -1{,}577\quad\text{e}\quad-0{,}423.
Concavidade:
  • Côncava para cima em x<(-3-\sqrt3)/3.
  • Côncava para baixo em (-3-\sqrt3)/3<x<(-3+\sqrt3)/3.
  • Côncava para cima em x>(-3+\sqrt3)/3.

Passo 6

Limites nas extremidades:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty,
pois o termo dominante é x^4. Não há assimptotas lineares ou horizontais.

Passo 7

Esboço qualitativo do gráfico:
A curva sai de +\infty quando x\to -\infty, decresce até tocar o eixo em (-2,0), sobe até o máximo em (-1,1), decresce de novo até (0,0) e, a seguir, cresce para +\infty quando x\to+\infty. Há pontos de inflexão em x\approx -1{,}577 e x\approx -0{,}423.

Resposta

Segue o esboço simplificado, indicando pontos principais:
\begin{array}{c} \quad f(x) \\\ \quad | \\\\ 2 -| \\\ \quad | \\\\ 1 -| \quad *(-1,1) \\\ \quad | \quad / \\\\ 0 -|__*_/ \quad \\ \_*____ x \\\ \quad -2 \quad -10 \end{array}
Onde a curva:
  • Toca o eixo x em (-2,0) e (0,0).
  • Tem máximo local em (-1,1).
  • Cresce para +\infty em ambas as extremidades.

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