Desenhe a curva da função dada.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
. Para isso, faremos análise qualitativa da função usando fatoração para achar zeros, derivadas para monotonia e extremos, segunda derivada para concavidade e inflexão, e finalmente o comportamento em
.
Passo 2
Fatorando
:
Logo,
em
e
, cada uma com multiplicidade
, ou seja, a curva toca o eixo
nesses pontos sem mudar de sinal.
Passo 3
Calculamos a primeira derivada:
Os pontos críticos são as raízes de
:
Analisando o sinal de
:
- Em
: (decrescente). - Em
: (crescente). - Em
: (decrescente). - Em
: (crescente).
Passo 4
Avaliação nos pontos críticos para classificar extremos:
Portanto:
- Mínimos locais em
e . - Máximo local em
.
Passo 5
Segunda derivada e pontos de inflexão:
Resolvendo
obtemos
Concavidade:
- Côncava para cima em
. - Côncava para baixo em
. - Côncava para cima em
.
Passo 6
Limites nas extremidades:
pois o termo dominante é
. Não há assimptotas lineares ou horizontais.
Passo 7
Esboço qualitativo do gráfico:
A curva sai de quando
, decresce até tocar o eixo em
, sobe até o máximo em
, decresce de novo até
e, a seguir, cresce para
quando
. Há pontos de inflexão em
e
.
A curva sai de
Resposta
Segue o esboço simplificado, indicando pontos principais:
Onde a curva:
- Toca o eixo
em e . - Tem máximo local em
. - Cresce para
em ambas as extremidades.